第5章 常微分方程初值问题初步

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1、1第五章常微分方程的数值解法马尔萨斯人口模型：假设某特定区域在t0时刻的人口p(t0)=p0为已知的，该区域人口的自然增长率为α。人口的增长与人口的总数成正比，所以t时刻的人口总数p(t)满足如下的微分方程：生活中常常有这样一类问题：问题的提出这些常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的问题，实际问题中归结出来的微分方程主要靠数值解法。解析法：给出精确解析解。只适合少数简单情况。近似解法：给出解的近似表达式。如级数法,逐步逼近法。数值方法：给出方程在离散点上的近似解。它适合计算机求解,应用广泛,具有理论应用价值。常微分方程的解

2、法：内容分类：定解问题初值问题边值问题单步法Euler方法Taylor方法和Runge-Kutta方法多步法Adams方法和一般线性多部法线性多部法的收敛性与稳定性一阶常微分方程初值问题的一般形式：问题:求函数满足其中:f(x,y)为已知函数,α是已知值.(可能是观察值或实验值)基本条件：f(x,y)在D上连续；f(x,y)在D上关于变量y满足Lipschitz连续条件：设满足解的存在唯一对求解区域[a,b]做剖分构造数值解法的基本思想在区间[xk,xk+1]上对微分方程做积分,则有常用等步长:,则有将微分方程的准确解记为y(x),称为步长。的近似解记为

3、能不能将微分转化为积分？因此，建立节点处近似值yn满足的差分公式称之为Euler公式.对右边的积分应用左矩形公式，则有Euler公式的几何意义特点：简单，精度低.例求解初值问题解：Euler公式的具体形式为取步长h=0.1，那么即可计算该微分方程。具体结果见下页。xnyn0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.10001.19181.27741.35821.43511.50901.58031.64981.71781.7848y(xn)1.09541.18321.26491.34161.41421.48321.54921.61251

4、.67331.7321解析解：(2)前向差分近似微分法前向差分近似,得将近似号改为等号，结合初始条件即得：■前面Euler方法是通过左矩形积分方法推导出来的，实际上Euler方法还可以通过其他几种方法推导出来。(3)Taylor展开法忽略高阶项，结合初值条件y(x0)=α即得将y(xk+1)在x=xk点进行Taylor展开11Euler公式的局部截断误差：后退的Euler公式如果采用后向差分近似,得将近似号改为等号，结合初始条件即得：未知这一类公式称为隐式的，相对应的前面介绍的Euler公式称为显式的显式：更加方便计算隐式：数值稳定性更好显式与隐式的特点

5、：隐式方程的计算方法：隐式方程常用迭代法计算，而迭代的过程实质是逐步显式化。设用Euler公式给出迭代的初值，用它代入后退Euler公式，使之转化为显式，得然后再代入后退Euler公式如此反复进行得：如果迭代过程收敛，则极限值必满足隐式方程，从而获得后退Euler方法的解。后退Euler方法局部截断误差为例用后退Euler方法求解初值问题解：(1)取步长h=0.1，首先用Euler方法计算初值，(2)用它代入后退Euler公式，使之转化为显式，得xny(xn)0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.09541.18321.2649

6、1.34161.41421.48321.54921.61251.67331.7321yn(0)1.10001.19181.27741.35821.43511.50901.58031.64981.71781.7848yn(1)1.09181.17741.25821.33511.40901.48031.54981.61781.68481.7512yn(2)1.09091.17461.25281.32641.39631.46331.52791.59081.65241.7133yn(3)1.09081.17421.25151.32391.39191.45621.

7、51741.57591.63221.6868Euler后退Euler■误差如果将这两种方法进行算术平均，即可消除误差的主要部分从而获得更高的精度。这种平均化的方法通常称为梯形方法，其计算公式为：即为前面导出的梯形微分方程公式.若对上式右边的积分应用梯形求积公式，则可导出差分公式■梯形公式也可以通过积分的方法来获得：将微分方程化为积分方程的形式■梯形方法的求解梯形方法是隐式的，可用迭代法求解。同后退的Euler方法一样，仍用Euler方法提供迭代初值，则梯形法的迭代公式为：例用梯形方法求解初值问题解：(1)取步长h=0.1，首先用Euler方法计算初值，(

8、2)用它代入梯形公式，使之转化为显式，得xny(xn)0.10.20.30.40