第5章 常微分方程初值问题初步new

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1、11问题的提出生活中常常有这样一类问题：马尔萨斯人口模型：假设某特定区域在t0时刻的人口p(t)=p为已知的，该区域人口的自然增长率为α。00人口的增长与人口的总数成正比，所以t时刻的人口总数p(t)满足如下的微分方程：ptpt,pt00p这些常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的问题，实际问题中归结出来的微分方程主要靠数值解法。2常微分方程的解法：①解析法：给出精确解析解。只适合少数简单情况。②近似解法：给出解的近似表达式。如级数法,逐步逼近法。③数值方法：给出方程在离散点上的近似解。它适合计算机求解,应用广泛,具有

2、理论应用价值。内容分类：Euler方法单步法Taylor方法和Runge-Kutta方法初值问题Adams方法和一般线性多部法定解问题多步法线性多部法的收敛性与稳定性边值问题3一阶常微分方程初值问题的一般形式：问题:求函数yxa(),xb,满足dyfxy(,),axbdxya()其中:f(x,y)为已知函数,α是已知值.(可能是观察值或实验值)基本条件：设D{(,)xyaxby,}①f(x,y)在D上连续；满足解的存在唯一②f(x,y)在D上关于变量y满足Lipschitz连续条件：fxy(,)fxy(,)Lyy,a

3、xb,yy,121212.4构造数值解法的基本思想能不能将微分转化为积分？对求解区域[a,b]做剖分n{},xaxxxxbkk0012nhkxkxk1(kn1,2,,)称为步长。常用等步长:h()ban,则有xkakhk(0,,).n将微分方程的准确解记为y(x),yx()的近似解记为y,kkfxy(,kk)fk.在区间[xk,xk+1]上对微分方程做积分,则有xk1yx()yx()fxyxdx(,())kk1xk5xk1yx()yx()fxyxdx(,())kk1xk对右边的积分应用左矩形公式，则有yx()

4、yx()hfxyx(,())k1kkk因此，建立节点处近似值yn满足的差分公式yyhfxy(,)k1kkky,k0,1,2,n10称之为Euler公式.6Euler公式的几何意义yyyhfxy(,)k1kkky,k0,1,2,n10特点：简单，精度低.7例求解初值问题2xyy0x1yy01解：Euler公式的具体形式为2xyyhynn1nnyn取步长h=0.1，那么即可计算该微分方程。具体结果见下页。8xnyny(xn)解析解：yx120.11.10001.09540.2

5、1.19181.18320.31.27741.26490.41.35821.34160.51.43511.41420.61.50901.48320.71.58031.54920.81.64981.61250.91.71781.67331.01.78481.73219■前面Euler方法是通过左矩形积分方法推导出来的，实际上Euler方法还可以通过其他几种方法推导出来。(2)前向差分近似微分法yx()yx()dyxk前向差分kk1近似,得hdxkyx()yx()kk1fxyx(,())kkhk将近似号改为等号，结合初始条件即得：dyyyhfxy(,

6、)fxy(,),axbk1kkkdxya()y0,k0,1,2,n110(3)Taylor展开法将y(x)在x=x点进行Taylor展开k+1ky()k2yx()yx()hfxyx(,())h,[,xx]k11kkkkkkkk2!'y()xdy结合初值条件y(x0)=α即得yx()fxy(,),dx忽略高阶项h2，yx()fxyx(,())kkkkyyhfxy(,)k1kkky,k0,1,2,n10Euler公式的局部截断误差：y()kk22yx()yx()y=hh,

7、[,xx]k1k1kkkkk12!21111后退的Euler公式如果采用后向差分yx(kk1)yx()近似dyxn1,得hdxkyx()yx()kk1fx(,(yx))kk11hk将近似号改为等号，结合初始条件即得：未知dyfxy(,),axbyyhfx(,y)k1kk1k1dxya()y0,k0,1,2,n1这一类公式称为隐式的，相对应的前面介绍的Euler公式称为显式的12显式与隐式的特点：显式：更加方便计算隐式：数值稳定性更好隐式方程的计算方法：隐式方程常用迭代法计算，而迭代