异面直线成角求法.doc

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1、求异面直线所成的角求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，这是高二数学人教版（A）版本倡导的传统的方法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解，这是高二数学人教版（B）倡导的方法，下面举例说明两种方法的应用。例：长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成的角。解法1：平移法设A1C1与B1D1交于O，取B

2、1B中点E，连接OE，因为OE//D1B，所以∠C1OE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角△C1OE中15OC1A1C12211223OEBD12212222222C1EB1C1B1E112222OC1OEC1E所以cosC1OE2OC1OE2253222253222555所以C1OEarccos55arccos所以异面直线A1C1与BD1所成的角为5图1解法2：补形法在长方体ABCD—A1B1C1D1的面BC1上补上一个同样大小

3、的长方体，将AC平移到BE，BE5则∠D1BE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角，在△BD1E中，BD1=3，，22D1E4225222BD1BED1EcosD1BE2BD1BE2223525235555arccos所以异面直线A1C1与BD1所成的角为5图2解法3：利用公式coscos1cos2设OA是平面α的一条斜线，OB是OA在α的射影，OC是平面α过O的任意一条直线，设OA与OC、OA与OB、OB与OC所成的角分别是、1、2，则coscos1

4、cos2（注：在上述题设条件中，把平面α的OC换成平面α不经过O点的任意一条直线，则上述结论同样成立）D1B在平面ABCD射影是BD，AC看作是底面ABCD不经过B点的一条直线，BD与AC所成的角为∠AOD，D1B与BD所成角为∠D1BD，设D1B与AC所成角BD5cosD1BD为，coscosD1BDcosAOD，BD15。222ODOAADcosAOD2ODOA225521223555222coscosD1BDcosAOD53355

5、55arccos所以55arccos所以异面直线A1C1与BD1所成的角为5图3abcos

6、a

7、

8、b

9、解法4：向量几何法：设AB、AD、AA1为空间一组基向量ABa,ADb,AA1c

10、a

11、2,

12、b

13、1,

14、c

15、2ab0,ac0,bc0BD1BAAA1A1D1bcaA1C1ab22A1C1

16、ab

17、2152222

18、BD1

19、

20、bca

21、

22、b

23、

24、a

25、

26、c

27、322BD1A1C1(bca)(ab)

28、b

29、

30、a

31、14

32、3cosBD1BD1A1C135A1C1355

33、BD1

34、

35、A1C1

36、5arccos所以异面直线A1C1与BD1所成的角为5图4解法5：向量代数法：a1b1a2b2a3b3cos222222a1a2a3b1b2b3以D为坐标原点，DC、DA、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，1，0）、C（2，0，0），B（2，1，0）、DBD1(2,1,2),AC(2,1,0)1（0，0，2），55cosBD1,AC3555arccos所以异面

37、直线A1C1与BD1所成的角为5图5解法6：利用公式2222ADBCABDCcos2ACBD定理：四面体A—BCD两相对棱AC、BD间的夹角必满足2222ADBCABDCcos2ACBD图6解：连结BC1、A1B在四面体BA1C1D1中，异面直线A1C1与BD1所成的角是，易求得A1C1BC15,A1B22,BD13图7222A1D1BC1A1BD1C1cos由定理得：2A1C1BD1222215222253555arccos所以5面直线所成的角（

38、教师版）求两条异面直线所成角的步骤：(1)；(2)；(3)；答案：(1)找出或作出有关角的图形；(2)证明它符合定义；(3)求角．一．例题与课堂练习题1．在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别为AB、CD的中点，EF＝3，求AD、BC所成角的大小．解：设BD的中点G，连接FG，EG。在△EF