异面直线所成角的几种求法

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1、异面直线所成角的几种求法异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。一、向量法求异面直线所成的角例1：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是相邻两侧面BCC1B1及CDD1C1的中心。求A1E和B1F所成的角的大小。解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。A1

2、D1H作法：连结B1E，取B1E中点G及A1B1中点H，连结GH，有GH//A1E。过F作CD的平行线RS，C1B1S分别交CC1、DD1于点R、S，连结SH，连结GS。由B1H//C1D1//FS，B1H=FS，可得B1F//SH。QGFER在△GHS中，设正方体边长为a。AD6GH=a（作直线GQ//BC交BB1于点Q，4BCP连QH，可知△GQH为直角三角形），6HS=a（连A1S，可知△HA1S为直角三角形），226GS=a（作直线GP交BC于点P，连PD，可知四边形GPDS为直角梯形）。4A1D11∴Cos∠GHS=。6C1B11所以直线A1E与直线B1F所成的角的

3、余弦值为。6FE解法二：（向量法）AD分析：因为给出的立体图形是一个正方体，所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用BC点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用向量的方法来求出两条直线间的夹角。以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，设BC长度为2。第1页共4页则点A1的坐标为（0，2，2），点E的坐标为（1，0，1），点B1的坐标为（0，0，2），点F的坐标为（2，1，1）；所以向量EA1的坐标为（-1，2，1），向量B1F的坐标为（2，1，-1），所以这两个向量的夹角θ满足EA1B1F(1)2211(1)1cosθ===-。2222226

4、EA1

5、

6、B1F

7、

8、(1)(2)(1)(2)(1)(1)1所以直线A1E与直线B1F所成的角的余弦值为6小结：上述解法中，解法一要求有良好的作图能力，且能够在作图完毕后能够看清楚图形中的各个三角形，然后在所需要的三角形中计算出各条线段的长度，从而完成解三角形得到角的大小。而解法二不需要学生作图，只需建立空间直角坐标系，标出相应的点的坐标，从而得到所需向量的坐标，求出两个向量的夹角，即所求的两条直线所成的角。当然，如果题中给出的是一可以建立坐标系的空间图形，比如刚才的正方体，或者说是长方体，或者说空间图形中拥有三条直线两两垂直的性质，我们就可以建立空间直角坐标系，从而利用向量的坐标表示来求两个向量

9、的夹角。如果没有这样的性质，我们也可以利用空间向量基本定理，寻找空间的一组基底（即三个不共面的向量，且这三个向量两两之间的夹角是已知的），空间中任何一个向量都可以用这三个向量的线性组合表示出来，因而也可以运用向量的数乘来求出空间中任意二个向量间的夹角。例2：已知空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，M、N分别为BC和AAD的中点，设AM和CN所成的角为α，求cosα的值。解：由已知得，空间向量AB，AC，AD不共面，N且两两之间的夹角均为60°。由向量的加法可以得到11AM=（AB+AC），NC=AD+ACD22B所以向量AM与向量NC的夹角θ（即角α

10、或者α的补角）MCAMNC满足cosθ=，其中

11、AM

12、

13、NC

14、11AM·NC=（AB+AC）·（AD+AC）22111=（AB·AD+AB·AC+（AD）·AC+AC·AC）2221211112=a（++1）=a；24242第2页共4页2111232

15、AM

16、=（AB+AC）·（AB+AC）=（1+1+1）a=a；224421111232

17、NC

18、=（AD+AC）·（AD+AC）=+1a=a。224242所以cosα=

19、cosθ

20、=。3例3：已知空间四边形ABCD中，AB=CD=3，E、F分别是BC、AD上的点，且BE：EC=AF：FD=1：2，EF=7，求AB和CD所成的角的大

21、小。A解：取AC上点G，使AG：GC=1：2。连结EG、FG，F可知EG//AB，FG//CD，3EG=2AB，3FG=CD。21G由向量的知识可知EF=EG+GF=BA+CD，33DB设向量BA和CD的夹角为θ。E22121则由

22、EF

23、=（BA+CD）·（BA+CD）=4+1+4cosθ=7，3333C1得cosθ=，所以AB和CD所成的角为60°。2二、利用模型求异面直线所成的角引理：已知平面α的一条斜线a与平面α所成的角为θ1，平面α内的一条直线b与斜线a所成的角为θ，与它的射影a′所成的角为θ2