异面直线所成角的几种求法资料

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时间:2019-08-07

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1、异面直线所成角的几种求法异面直线所成角的大小,是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角(或直角)来定义的。因此,通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线,形成角,然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。在这一方法中,平移直线是求异面直线所成角的关键,而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。一、向量法求异面直线所成的角例1:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是相邻两侧面BCC1B1及CDD1C1的中心。求A1E和B1F所成的角的大小。BACDFEB1A1D1C1GHSRPQ解法一:(作图法)作图关键是平移直线,

2、可平移其中一条直线,也可平移两条直线到某个点上。作法:连结B1E,取B1E中点G及A1B1中点H,连结GH,有GH//A1E。过F作CD的平行线RS,分别交CC1、DD1于点R、S,连结SH,连结GS。由B1H//C1D1//FS,B1H=FS,可得B1F//SH。在△GHS中,设正方体边长为a。GH=a(作直线GQ//BC交BB1于点Q,连QH,可知△GQH为直角三角形),HS=a(连A1S,可知△HA1S为直角三角形),BACDFEB1A1D1C1GS=a(作直线GP交BC于点P,连PD,可知四边形GPDS为直角梯形)。∴Cos∠GHS=。所以直线A1E与直线

3、B1F所成的角的余弦值为。解法二:(向量法)分析:因为给出的立体图形是一个正方体,所以可以在空间建立直角坐标系,从而可以利用点的坐标表示出空间中每一个向量,从而可以用向量的方法来求出两条直线间的夹角。以B为原点,BC为x轴,BA为y轴,BB1为z轴,设BC长度为2。第4页共4页则点A1的坐标为(0,2,2),点E的坐标为(1,0,1),点B1的坐标为(0,0,2),点F的坐标为(2,1,1);所以向量的坐标为(-1,2,1),向量的坐标为(2,1,-1),所以这两个向量的夹角θ满足cosθ===-。所以直线A1E与直线B1F所成的角的余弦值为小结:上述解法中,解法

4、一要求有良好的作图能力,且能够在作图完毕后能够看清楚图形中的各个三角形,然后在所需要的三角形中计算出各条线段的长度,从而完成解三角形得到角的大小。而解法二不需要学生作图,只需建立空间直角坐标系,标出相应的点的坐标,从而得到所需向量的坐标,求出两个向量的夹角,即所求的两条直线所成的角。当然,如果题中给出的是一可以建立坐标系的空间图形,比如刚才的正方体,或者说是长方体,或者说空间图形中拥有三条直线两两垂直的性质,我们就可以建立空间直角坐标系,从而利用向量的坐标表示来求两个向量的夹角。如果没有这样的性质,我们也可以利用空间向量基本定理,寻找空间的一组基底(即三个不共面的

5、向量,且这三个向量两两之间的夹角是已知的),空间中任何一个向量都可以用这三个向量的线性组合表示出来,因而也可以运用向量的数乘来求出空间中任意二个向量间的夹角。ABCDMN例2:已知空间四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA=AC=BD=a,M、N分别为BC和AD的中点,设AM和CN所成的角为α,求cosα的值。解:由已知得,空间向量,,不共面,且两两之间的夹角均为60°。由向量的加法可以得到=(+),=+所以向量与向量的夹角θ(即角α或者α的补角)满足cosθ=,其中·=(+)·(+)=(·+·+()·+·)=a2(++1)=a2;第4页共4页

6、

7、2=(+)·(

8、+)=(1+1+1)a2=a2;

9、

10、2=(+)·(+)=+1a2=a2。所以cosα=

11、cosθ

12、=。例3:已知空间四边形ABCD中,AB=CD=3,E、F分别是BC、AD上的点,ABCDEFG且BE:EC=AF:FD=1:2,EF=,求AB和CD所成的角的大小。解:取AC上点G,使AG:GC=1:2。连结EG、FG,可知EG//AB,FG//CD,3EG=2AB,3FG=CD。由向量的知识可知=+=+,设向量和的夹角为θ。则由

13、

14、2=(+)·(+)=4+1+4cosθ=7,得cosθ=,所以AB和CD所成的角为60°。二、利用模型求异面直线所成的角引理:已知平面

15、α的一条斜线a与平面α所成的角为θ1,平面α内的一条直线b与斜线a所成的角为θ,与它的射影a′所成的角为θ2。求证:cosθ=cosθ1·cosθ2。PbABOα证明:设PA是α的斜线,OA是PA在α上的射影,OB//b,如图所示。则∠PAO=θ1,∠PAB=θ,∠OAB=θ2,过点O在平面α内作OB⊥AB,垂足为B,连结PB。可知PB⊥AB。所以cosθ1=,cosθ=,cosθ2=。所以cosθ=cosθ1·cosθ2。这一问题中,直线a和b可以是相交直线,也可以是异面直线。我们不妨把θ1叫做线面角,θ叫做线线角,θ2叫做线影角。很明显,线线角是这三个角中最大

16、的一个角。

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