异面直线所成角的几种求法

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1、异面直线所成角的几种求法异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。一、向量法求异面直线所成的角例1：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是相邻两侧面BCC1B1及CDD1C1的中心。求A1E和B1F所成的角的大小。解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。HA1D1作法：连结B

2、1E，取B1E中点G及A1B1中点H，连结GH，有GH//A1E。过F作CD的平行线RS，B1C1分别交CC1、DD1于点R、S，连结SH，连结GS。S由B1H//C1D1//FS，B1H=FS，可得B1F//SH。QGFE在△GHS中，设正方体边长为a。ARD6a（作直线GQ//BC交BB1于点Q，GH=BC4P连QH，可知△GQH为直角三角形），6a（连A1S，可知△HA1S为直角三角形），HS=226GPDS为直角梯形）。GS=a（作直线GP交BC于点P，连PD，可知四边形4A1D1∴Cos∠GHS=1。61B1C1所以直线A1E与直线B1F所成的角的余弦值为。F6解法二：（向量法）EA

3、D分析：因为给出的立体图形是一个正方体，所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用BC点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用向量的方法来求出两条直线间的夹角。以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，设BC长度为2。第1页共4页则点A1的坐标为（0，2，2），点E的坐标为（1，0，1），点B1的坐标为（0，0，2），点F的坐标为（2，1，1）；所以向量EA1的坐标为（-1，2，1），向量B1F的坐标为（2，1，-1），所以这两个向量的夹角θ满足EA1B1F=(1)2211(1)1。cosθ=(2)2(1)2(2)2(1)2(1)2=-

4、EA1

5、

6、B1F

7、(1)26所以直线A1E与直

8、线B1F所成的角的余弦值为16小结：上述解法中，解法一要求有良好的作图能力，且能够在作图完毕后能够看清楚图形中的各个三角形，然后在所需要的三角形中计算出各条线段的长度，从而完成解三角形得到角的大小。而解法二不需要学生作图，只需建立空间直角坐标系，标出相应的点的坐标，从而得到所需向量的坐标，求出两个向量的夹角，即所求的两条直线所成的角。当然，如果题中给出的是一可以建立坐标系的空间图形，比如刚才的正方体，或者说是长方体，或者说空间图形中拥有三条直线两两垂直的性质，我们就可以建立空间直角坐标系，从而利用向量的坐标表示来求两个向量的夹角。如果没有这样的性质，我们也可以利用空间向量基本定理，寻找空间的一

9、组基底（即三个不共面的向量，且这三个向量两两之间的夹角是已知的），空间中任何一个向量都可以用这三个向量的线性组合表示出来，因而也可以运用向量的数乘来求出空间中任意二个向量间的夹角。例2：已知空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，M、N分别为BC和AD的中点，设AM和CN所成的角为α，求cosα的值。A解：由已知得，空间向量AB，AC，AD不共面，N且两两之间的夹角均为60°。由向量的加法可以得到AM=1（AB+AC），NC=1AD+ACD22B所以向量AM与向量NC的夹角θ（即角α或者α的补角）MAMNCC满足cosθ=，其中

10、AM

11、

12、NC

13、AM·NC=1（AB+AC）

14、·（1AD+AC）22=1（1AB·AD+AB·AC+（1AD）·AC+AC·AC）222=1a2（1+11+1）=1a2；24242第2页共4页21（AB+AC）·11232

15、AM

16、=22（AB+AC）=（1+1+1）a=4a；4

17、NC

18、2=（1AD+AC）·（1AD+AC）=1+11a2=3a2。22424所以cosα=

19、cosθ

20、=2。3例3：已知空间四边形ABCD中，AB=CD=3，E、F分别是BC、AD上的点，且BE：EC=AF：FD=1：2，EF=7，求AB和CD所成的角的大小。解：取AC上点G，使AG：GC=1：2。连结EG、FG，可知EG//AB，FG//CD，3EG=2AB，

21、3FG=CD。由向量的知识可知EF=EG+GF=2BA+1CD，33设向量BA和CD的夹角为θ。B21CD）·（2BA+1E则由

22、EF

23、2=（BA+CD）=4+1+4cosθ=7，3333得cosθ=1，所以AB和CD所成的角为60°。AFGDC2二、利用模型求异面直线所成的角引理：已知平面α的一条斜线a与平面α所成的角为θ1，平面α内的一条直线b与斜线a所成的角为θ，与它的射影a′所成的角为θ