异面直线所成的角的求法.ppt

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1、2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系习题课问题一：异面直线的判定例1.已知m、n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β＝l，则l()A．与m、n都相交B．与m、n中至少一条相交C．与m、n都不相交D．与m、n中的一条直线相交例2.已知点P、Q、R、S分别是正方体的四条棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()例3．如图，已知α∩β＝a，b⊂α，c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线．[证明]假设b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交．(1)若b∥c，∵a∥c，∴a∥b与a∩b＝A矛盾．(2)若b与c相交，设b∩c＝B，

2、∵a∥c，∴B∉a，即A、B两点不重合，这样直线b上有两点A、B∈β，∴b⊂β，又b⊂α，∴b是α与β的公共直线，又α∩β＝a，∴b与a重合，这与b∩a＝A矛盾，∴b与c是异面直线．异面直线的证明:(1)反证法，假设两直线共面，随后导出矛盾，故两直线异面．(2)过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不过该点的直线是异面直线(异面直线判定定理)．问题二：求异面直线所成的角预备知识角的知识正弦定理a=2RsinAa=2RsinASABC=bcsinA余弦定理ABCbcacosA=ABCbca二、数学思想、方法、步骤：解决空间角的问题涉及的数学思想主要

3、是化归与转化，即把空间的角转化为平面的角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得。2.方法：3.步骤：求异面直线所成的角：①作（找）②证③点④算1.数学思想：平移构造可解三角形例4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为4(1)求直线BA1和CC1所成的角的大小(2)若M，N分别为棱A1B1和B1B的中点，求直线AM与CN所成的角的余弦值.A1B1C1D1ABCDMNPQBQ=1BN=2QN=QC=NC=Cos∠QNC=例5、在正方体ABCD-A’B’C’D’中，棱长为a，E、F分别是棱A’B’，B’C’的中点，求：①异面直线AD与EF

4、所成角的大小；②异面直线B’C与EF所成角的大小；③异面直线B’D与EF所成角的大小.②异面直线B’C与EF所成角的大小；OGAC∥A’C’∥EF,OG∥B’DB’D与EF所成的角即为AC与OG所成的角,即为∠AOG或其补角.平移法补形法例6空间四边形SABC中，SA=SB=SC=AB=BC=CA，E、F分别是SA、BC中点，则异面直线EF与SC所成的角900S是正△ABC所在平面外一点，SA=SB=SC且∠ASB=∠BSC=∠CSA=90°，M，N分别是AB和SC的中点，求异面直线SM与BN所成的角。ASBCMNPMABCPNPBaaa例7.三例

5、8.例9．如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为________[解析]折起后，空间图形如图．A、B、C三点重合为一点A′，在△BDE中，IJ∥BD，在△ADF中，GH∥DF，∴折起后，IJ∥A′D，∴直线DF与A′D所成的角就是HG与IJ所成的角，在正△A′DF中，∠A′DF＝60°.例、10由四个全等的等边三角形围成的封闭几何体称为正四面体．如图，正四面体ABCD中，E、F分别是棱BC、AD的中点，CF与DE是一

6、对异面直线，在图形中适当的选取一点作出异面直线CF、DE的平行线，找出异面直线CF与DE所成的角．[解析]思路1：选取平面ACD，该平面有以下两个特点：①该平面包含直线CF，②该平面与DE相交于点D，伸展平面ACD，在该平面中，过点D作DM∥CF交AC的延长线于M，连结EM.可以看出：DE与DM所成的角，即为异面直线DE与CF所成的角．如图1.思路2：选取平面BCF，该平面有以下两个特点：①该平面包含直线CF，②该平面与DE相交于点E.在平面BCF中，过点E作CF的平行线交BF于点N，连结ND，可以看出：EN与ED所成的角，即为异面直线FC与ED所

7、成的角．如图2.思路3：选取平面ADE，该平面有如下两个特点：①该平面包含直线DE，②该平面与CF相交于点F.在平面ADE中，过点F作FG∥DE，与AE相交于点G，连结CG，可以看出：FG与FC所成的角，即为异面直线CF与DE所成的角．如图3.思路4：选取平面BCD，该平面有如下特点：①该平面包含直线DE，②该平面与CF相交于点C，伸展平面BCD，在该平面内过点C作CK∥DE与BD的延长线交于点K，且DK＝BD，连结FK，则CF与CK所成的角，即为异面直线CF与DE所成的角．如图4.总结评述：(1)上面四个思路的共同点是：由两条异面直线中的一条与另

8、一条上一个点确定一个平面，在该平面内过该点作该直线的平行线，从而找出两条异面直线所成的角，这是立体几何“化异为共”“降维”