本质有穷的全纯函数及其导数的Borel例外值.pdf

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1、第35卷第2期数学理论与应用V01．35No．22015年6月MATHEMATICALTHEORYANDAPPLICATIONSJun．2015本质有穷的全纯函数及其导数的Borel例外值蔡惠京(中山市广播电视大学，中山，528402)摘要本文对于复平面上的全纯函数，推广通常的增长级为P阶增长级，引进本质有穷的概念，进而研究本质有穷的全纯函数及其导数的Borel例外值的存在性．将通常意义下有限级全纯函数的Hadamard因子分解定理推广到本质有穷的全纯函数上来，在此基础上，将熟知的Borel例外值定理推广到本质有穷全纯函数的情形．然后，将Miloux等人关于全纯函数及其导数的Picar

2、d值的存在性定理推广为本质有穷的全纯函数及其导数的Borel例外值的存在性定理．关键词全纯函数增长级Borel例外值BorelExceptionalValuesofEssentialFiniteEntireFunctionsandtheirDerivativesCaiHuijing(ZhongshanRadioandTelevisionUniversity，Zhongshan，Guangdong528402，China)AbstractInthispaper，weintroducetheconceptofessentialfiniteentirefunctionwhichgeneral

3、izesthecommonor-derofgrowthtoP—orderofgrowth．eexistenceofBorelexceptionalvaluesofsuchentirefunctionsandtheirderiv—afivesisinvestigated．BoththeHadamardtheoremandthewell—-knownBorelexceptionalvaluetheoremaregeneral—izedtotheessentialfiniteentirefunctions．Moreover，theexistencetheoremofPicardexcepti

4、onalvaluesofentirefunctionsandtheirderivativesisgeneralizedtoaexistencetheoremofBorelexceptionalvaluesofessentialfiniteentirefunctionsandtheirderivativesaswel1．KeywordsEntirefunctionOrderofgrowthBorelexceptionalvalue1引言与主要结果考虑复平面c上的全纯函数)．法国数学家Picard于1879年给出了著名的结论：定理A(Picard大定理)如果，()是超越的，则对于任意有限复

5、数0，方程)有无穷多个解，至多有一个0值例外．收稿日期：2015年4月20日2数学理论与应用由此激发了人们对函数值分布的研究．人们称上述定理中的例外值为Picard值．1897年，法国数学家Borel采用函数增长级的概念，进一步细化了Picard的结论，他给出了：定理B如果)是超越的，其增长级满足：0

6、所含序列}中复数的个数(按重数计算)，称之为序列{z}的计数函数．令)=limsup，卜-∞lI●，称之为序列}的收敛指数．特别地，当序列{}是函数)的全部非零零点时，称({z})为z)的零点的收敛指数，并记为(／)．人们称定理B中的例外值为函数Z)的Borel值．当JD∽=。。时，如何更细致地定义)的Borel值，并证明相应的Borel定理?这是本文试图回答的一个问题．我们采用Sato引进的方法[4]，对函数厂()的增长级进行更细致地刻划．定义2设全纯函数)是超越的，对于整数P≥1，称∽-limsup一为)的P阶增长级，这里log=log，log=log(1og)．如果对于固定的整数

7、P≥1，有(<∞，就称z)为P阶有穷的．易知此时对所有的k≥PZ)都是k阶有穷的．因此，如果存在整数P≥1，使得Z)是P阶有穷的，就称Z)是本质有穷的全纯函数，否则，称Z)是本质无穷的．Sato指出：本质无穷的全纯函数是存在的!相应地，我们还要推广定义1为如下的：定义3设复数序列}满足定义1中的条件，对于整数P≥1，称)_limsup一本质有穷的全纯函数及其导数的Borel例外值3为序列{}的P阶收敛指数．特别地，z)的零点的P阶收敛指数记为(