函数的极值与导数、函数的最大小值与导数

《函数的极值与导数、函数的最大小值与导数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1．知识与技能结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．过程与方法会用导数求不超过三次的多项式函数的极值，以及在给定区间上求最大值、最小值．本节重点：利用导数的知识求函数的极值．本节难点：函数的极值与导数的关系．利用函数的导数求极值时，首先要确定函数的定义域；其次，为了清楚起见，可用导数为零的点，将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格，判断导函数在各个小开区间的符号．求函数的最大值和最小值，需要先确定函数的极大值和极小值，极值是一个局部概念并且不唯一，极大值与极小值之间无确定的大小关系．f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0取得极值的必要条件，不是充分

2、条件．例如：函数f(x)＝x3，f′(0)＝0但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．1．理解极值概念时需注意的几点(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的．(2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．(3)若f(x)在[a，b]内有极值，那么f(x)在[a，b]内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数没有极值．(4)极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值．(如图(1))(5)若函数f(x)在[a，b]上有极值，它的极值点的分布是有规律的(如图

3、(2)所示)，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．2．导数为0的点不一定是极值点．3．正确理解“在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)必有最值．”此性质包括两个条件：4．正确区分极值和最值(1)函数的最值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值可以在极值点、不可导点、区间的端点取得，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，最值具有绝对性，极值具有相对性．(2)函数的最值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大的值，最小值是所有函数值中的最小的值；极值只能在区间内取得；但最值可以在端点处取得；极值有可能成为

4、最值．5．若连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．1．已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x.对于包含x0在内的开区间内的所有点x，如果都有，则称函数f(x)在点x0处取得，并把x0称为函数f(x)的一个；如果都有，则称函数f(x)在点x0处取得，并把x0称为函数f(x)的一个．极大值与极小值统称为，极大值点与极小值点统称为．f(x)≤f(x0)极大值极大值点f(x)≥f(x0)极小值极小值点极值极值点2．假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条，该函数在[a，b]上一定能够取得与，该函数在(a，b)内是，该函数的最值必在取得．

5、3．当函数f(x)在点x0处连续时，判断f(x0)是否存在极大(小)值的方法是：(1)如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极值；连续不断的曲线最大值最小值可导的极值点或区间端点f′(x)>0f′(x)<0大(2)如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极值；(3)如果f′(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)函数f(x)的极值．f′(x)<0f′(x)>0小不是[例1]求函数y＝3x3－x＋1的极值．[分析]首先对函数求导，求得y′，然后求方程y′＝0的根，再检查y′在方程根左右的值的符号．如果左正右负，那么y在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么y在这个根处

6、取得极小值．[点评]熟记极值的定义是做好本题的关键，要利用求函数极值的一般步骤求解．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有()A．极大值为5，极小值为－27B．极大值为5，极小值为－11C．极大值为5，无极小值D．极大值为－27，无极小值[答案]C[解析]f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)令f′(x)＝0得x1＝－1，x2＝3(舍去)当－2＜x＜－1时，f′(x)＞0当－1＜x＜2时，f(x)＜0∴当x＝－1时f(x)有极大值，f(x)极大值＝f(－1)＝5，无极小值．故应选C.[例2]求函数f(x)＝x3－2x2＋1在区间[－1,2]上的最大值与最小值．[

7、分析]首先求f(x)在(－1,2)内的极值．然后将f(x)的各极值与f(－1)，f(2)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[解析]f′(x)＝3x2－4x.故f(x)最大值＝1，f(x)最小值＝－2.[点评]利用求最值的步骤求解．函数最大值及最小值点必在下面各种点之中：导数等于0的点、导数不存在的点或区间的端点．函数在区间[a，b]上连续是f(x)在[a，b]上存在最大值的充分而非必要条件．求函数f(x)＝x4－8x2＋2在[－1,3]上的最大值与最小