一堂妙趣横生的竞赛课堂与课后-论文.pdf

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1、6——4o数学教学2014年第6期一堂妙趣横生的竞赛课堂与课后510530广东省广州市第二中学程汉波450001河南省郑州外国语学校杨春波生活告诉我们：一件很小的东西里能隐藏评析：由条件、／／0+b2+C=1的结构联着很深的道理；一件很平凡的事情里能寓存着想到球的参数方程，于是进行三角代换．配大智慧．人生如此，数学亦应如此，从一道小题凑(2一COS)堪为上述证法中最精彩的一笔，之中，你可以见识数学思想方法的深邃，你可令人拍案叫绝．以领略某些解法的精妙，你可以窥见命题人那学生们发自内心地为这一巧妙予以第一火热的思考

2、．次热烈的掌声．老师进行评析后要求学生继在华中师大本科生专业选修课《竞赛数续研讨该题，班级再次陷入了宁静．又过了大学》的课堂上，老师给学生展示了如下一道不概10分钟，学生A再次举手．老师再次让他站等式试题供学生研讨．整节课一波三折，妙趣横生，班级学生三次自发地热烈的鼓掌．起来展示其新得到的证法2．题目设a、b、C∈R+，且、／／n+b2+证法2：、／／干+C：1即0+b2：f1一c)，考虑代换：1-c=·，a=rcos0，b=rsin0，c：1，求证：ab+2ac≤．课堂开始悄无声息，“高手们”均沉默着、其中7'

3、∈(0，1)，0∈(0，)．于是有思考着，大概15分钟后，坐在前排的学生A突n6+2ac=r。sin0COS0+2r(1一r1COS0然激动地要求发言，老师让他把自己发现的证=COSO(sin0—2)r+2rcos0．法展示给全班同学．记f(r)=COSO(sin0—2)r+2rCOS0，r∈(0，1)，证法1：设a=COS2OLsin：COS0QCOS，它是以7’==：为对称轴，开口向下的二c=sin，其中Q、∈(0，7rJ，则次函数，易知．厂(r)有最大值_厂()==：06+2ac=a(b+2c1：COS2s

4、in(c0sCOS+2sin2)．再㈣=，0∈(0，)，=(2-COSos2易知g(0)≤go，得证．fCOS2OzCOS+2sin2Oz1评析：将条件变形得a+b=(1一c)，由=(2c。s2—c。s2c。s)此联想到圆柱的参数方程，并进行三角代换，fCOS2COS+2sin2O1)证法2于此处较证法1更简洁些，但殊途同归：≤sin／3(+该证法在面对二元最值问题时，运用“多个变COS2OLCOS+2sin2、2量，轮流做主，各个击破”的思想，顺利证得原——————一J不等式．sinB一毋庸置疑，学生们再次为该

5、精彩的证法2一COS83’予以热烈的掌声就在此刻坐在后排的学当且仅当：arctan，：百71"时，两处生B激动地举起手来说有不一样的证法，老师都取等号，证毕．也高兴地让他站起来讲出了第三种证法．2014~6期数学教学一1评析：该证法运用均值不等式与柯西不等证法3：ab+2ac≤锚v／-3a(b+2c)式放缩得证．为了有效地利用题设条件，创造≤1=(+c)。，展开得性地配以参数，以不变应万变，此乃解题之至n6-4-245nc≤0+6+c。+2cv／~a2+b2。．高境界．将其整理为c的一元二次不等式，即证法5：设6

6、=0tan，其中0∈(0，)，则c+2(4-J+b2—45a)c+0+b一ab≥0，C=1一—，于是有只需验证A≤0即可，而nb+20c：0f＼、0tan+2一1：COS／△：4(、／／0。+b2—45a)2—4(a2-4-b2一、／6)。(2一n)，)=≥=445a(n+b一2、／／n+b)，由柯西不等式知，2、／／=X／—(3+1)(a—2．~b2)，且，所以(2一)≤一≥5a-4-b，故△≤0，证毕．评析：该证法通过齐次化的手段，将原不。)≤击(v~a+2-x／3a)=，得证．等式转化为C的二次函数非负恒成

7、立的问题，评析：由干联想到重要三角关顺利得证．证明过程以分析法开道，顺畅自然．系l-4-tan2=sec20，从而将b、C均用a表同学们都给出了更热烈的掌声．老师点评之后再给了最后的五分钟给学示出来而达到消元的目的，最后结合三角函生思考探究，遗憾的是，在这五分钟之内没有数与不等式知识求得6+2bc的最小值，由证学生给出新的证法．可喜的是，这五分钟让学法3、4、5可见，三角换元是解题的一把利器，生意犹未尽．伟大数学家、教育家波利亚曾告由于其形式多变，我们应善于联想，从而达到诉我们：没有任何一道题可以解决得十全十美，

8、灵活使用，简化解题策略的目的．总剩下一些工作要做，经过充分的探讨总结，通过对一道不等式问题的多角度分析，引总会有点滴的发现．出了不等式证明中的三角换元法、构造函数伴随着下课的铃声，学生们都带着收获和法与待定系数法等常用手段，同时蕴含了求三思绪走出了课室．课后，学生A整理思绪，查阅角函数与二次函数值域问题，还有曲线与曲面资料，又得到了两种很巧妙的证法．证法4：nb+2。c：