平面向量及其运算.docx

《平面向量及其运算.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行。③单位向量：模为1个单位长度的向量。④相等向量：长度相等且方向相同的向量。⑤平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。2、向量加减法：①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。②向量的减法向量加上的相反向量，叫做与的差。即：-=+(-)；可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点。③实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）；（Ⅱ

2、）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的。④两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=。3、平面向量的坐标表示（1）平面向量的坐标表示：平面内的任一向量可表示成，记作=(x,y)。（2）平面向量的坐标运算：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

3、

4、＝.①若，则②若，则③若，则④若，则；若，则注意：与轴、轴方向相同两个单位向量、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；基底不惟一，关键是不共线；由

5、定理可将任一向量ａ在给出基底、的条件下进行分解；基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被，、唯一确定的数量。⑤向量运算运算律：；；；4、平面向量的数量积：（1）“投影”的概念：

6、

7、cosq叫做向量在方向上的投影（2）；规定；几何意义：数量积×等于的长度与在方向上投影

8、

9、cosq的乘积（3）设和都是非零向量，则①．②当与同向时，；当与反向时，；或．③．（4）运算律：①；②；③（5）坐标运算：若，则，或；设非零向量，，则；．1.已知，其中。⑴求证：与互相垂直；⑵若与（）的长度相等，求。2.(2013·江苏)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)

10、，0<β<α<π.(1)若

11、a－b

12、＝，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．3.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(4，－1)，n＝，且m·n＝.(1)求角A的大小；(2)若a＝，试判断bc取得最大值时△ABC的形状。4.设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx,1)，b＝(cosx，sin2x)，x∈R.(1)若f(x)＝1－且x∈[－，]，求x；(2)若y＝2sin2x的图象按向量c＝(m，n)(

13、m

14、<)平移后得到y＝f(x)的图象，求实数m、n的值。5.已知向量=3i－4j，=6i－3j

15、，=（5－m）i－（4＋m）j，其中i、j分别是直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量。（1）若A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；（2）若ΔABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值。1．下列命题中正确的是（）A．B．C．D．2．设点，,若点在直线上，且，则点的坐标为（）A．B．C．或D．无数多个3．若平面向量与向量的夹角是，且，则()A．B．C．D．4．向量，，若与平行，则等于A．B．C．D．5．若是非零向量且满足，，则与的夹角是（）A．B．C．D．6．设，，且，则锐角为（）A．B．C．D．7．若，且，则向量与的夹角为　　　　　　．8．已知向量

16、，，，若用和表示，则=____。9．若,，与的夹角为，若，则的值为　　　　．10．若菱形的边长为，则__________。11．若=，=，则在上的投影为________________。12．已知，，其中．(1)求证：与互相垂直；(2)若与的长度相等，求的值(为非零的常数)．