平面向量地坐标表示及其运算

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1、实用标准一.情境引入上海市莘庄中学的健美操队四名队员A、B、C、D在一个长10米，宽8米的矩形表演区域EFGH内进行健美操表演.（1）若在某时刻，四名队员A、B、C、D保持如图1所示的平行四边形队形.队员A位于点F处，队员B在边FG上距F点3米处，队员D位于距EF边2米距FG边5米处.你能确定此时队员C的位置吗？[说明]此时队员C在位于距EF边5米距FG边5米处.这个图形比较特殊，学生很快就会得到答案，这时教师引入第二个问题.（2）若在某时刻，四名队员A、B、C、D保持如图2所示的平行四边形队形.队员A位于距EF边2米距FG边1米处，队员B在距EF边6米距FG边3米处，队员D位于距EF边4米距

2、FG边5米处.你能确定此时队员C的位置吗？二．学习新课1.向量的正交分解我们称在平面直角坐标系中，方向与x轴和y轴正方向分别相同的的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为，如图，称以原点O为起点的向量为位置向量，如下图左，即为一个位置向量.文案大全实用标准思考1：对于任一位置向量，我们能用基本单位向量来表示它吗？如上图右，设如果点A的坐标为，它在小x轴，y轴上的投影分别为M，N，那么向量能用向量与来表示吗？（依向量加法的平行四边形法则可得），与能用基本单位向量来表示吗？（依向量与实数相乘的几何意义可得），于是可得：由上面这个式子，我们可以看到：平面直角坐标系内的任一位置向量都能表示成两个相互垂

3、直的基本单位向量的线性组合，这种向量的表示方法我们称为向量的正交分解.2.向量的坐标表示思考2：对于平面直角坐标系内的任意一个向量，我们都能将它正交分解为基本单位向量的线性组合吗？如下图左.文案大全实用标准显然，如上图右，我们一定能够以原点O为起点作一位置向量，使.于是，可知：在平面直角坐标系内，任意一个向量都存在一个与它相等的位置向量.由于这一点，我们研究向量的性质就可以通过研究其相应的位置向量来实现.由于任意一个位置向量都可以正交分解为基本单位向量的线性组合，所以平面内任意的一个向量都可以正交分解为基本单位向量的线性组合.即：==上式中基本单位向量前面的系数x,y是与向量相等的位置向量的终

4、点A的坐标.由于基本单位向量是固定不可变的，为了简便，通常我们将系数x,y抽取出来，得到有序实数对（x,y）.可知有序实数对（x,y）与向量的位置向量是一一对应的.因而可用有序实数对（x,y）表示向量，并称（x,y）为向量的坐标，记作：=（x,y）[说明]（x,y）不仅是向量的坐标，而且也是与相等的位置向量的终点A的坐标！当将向量的起点置于坐标原点时，其终点A的坐标是唯一的，所以向量的坐标也是唯一的.这样，我们就将点与向量、向量与坐标统一起来，使复杂问题简单化.显然，依上面的表示法，我们有：.文案大全实用标准例1.如图，写出向量的坐标.解：由图知与向量相等的位置向量为，可知与向量相等的位置向量

5、为，可知[说明]对于位置向量，它的终点的坐标就是向量的坐标；对于起点不在原点的向量，我们是通过先找到与它相等的位置向量，再利用位置向量的坐标得到它们的坐标.那么，有没有不通过位置向量，直接就写出任意向量的坐标的方法呢？答案是肯定的，而且很简便，但我们需几分钟后再来解决这个问题.让我们先学习向量坐标表示的运算：3.向量的坐标表示的运算我们学过向量的运算，知道向量有加法、减法、实数与向量的乘法等运算，那么，在学习了向量的坐标表示以后，我们怎么用向量的坐标形式来表示这些运算呢？设是一个实数，由于所以文案大全实用标准于是有：[说明]上面第一个式子用语言可表述为：两个向量的和(差)的横坐标等于它们对应的

6、横坐标的和(差)，两个向量的和(差)的纵坐标也等于它们对应的纵坐标的和(差)，可笼统地简称为：两个向量和(差)的坐标等于对应坐标的和(差)；同样，第二个式子用语言可表述为：数与向量的积的横坐标等于数与向量的横坐标的积，数与向量的积的纵坐标等于数与向量的纵坐标的积，也可笼统地简称为：数与向量积的坐标等于数与向量对应坐标的积.4.应用与深化下面我们来研究刚才提出的不通过位置向量，如何直接写出任意向量的坐标的问题：21世纪教育网例2.如下图左，设、是平面直角坐标系内的任意两点，如何用P、Q的坐标来表示向量？文案大全实用标准解：如上图右，向量从而有[说明]上面这个式子告诉我们：平面直角坐标系内的任意向

7、量的横坐标等于它终点的横坐标与它起点的横坐标的差，纵坐标也等于它终点的纵坐标与它起点的纵坐标的差，可简称为“任意向量坐标=终点坐标-起点坐标”.例3.如图，平面上A、B、C三点的坐标分别为、、.（1）写出向量的坐标；（2）如果四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标.解：（1）（2）在上图中，因为四边形ABCD是平行四边形，所以设点D的坐标为，于是有又故由此可得解得文案大全实用标准因此点D的坐标为.