选修4－5　31二维形式的柯西不等式(1).ppt

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1、第三讲柯西不等式与排序不等式本节,我们来学习数学上两个有名的经典不等式:柯西不等式与排序不等式,知道它的数学意义、几何背景、证明方法及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养.有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值，人们称它们为经典不等式.如均值不等式:二维形式的柯西不等式(一)问题：类比，研究关于的不等关系.展开这个乘积，得由于即而因此①从上述的探究过程可以发现，当且仅当时，①式中的等号成立.总结：1.二维形式的柯西不等式的结构特征是什么？①式左边每个括号内都是两项的平方和，右边是两组数积的和平方，反映了4个实数的特定数量关系，排列形式上规律明显，具有简洁、对称的美感.2.注意取等号的条件

2、.3.这个不等式的右边还可以写成什么？何时取等号？①二维形式的柯西不等式的两个推论:①小试牛刀！证明：问题探究探究1.柯西不等式的几何意义（柯西不等式的向量形式）设在直角坐标系xOy中有向量，之间的夹角为，，根据向量的数量积（内积）的定义，有所以因为，所以②①由此可知，二维形式的柯西不等式①是向量形式的不等式②的坐标表示.用平面（二维）向量的坐标表示不等式②，得所以②(2)上式取等号的条件是什么？如果向量和中有零向量，则ad-bc=0，以上不等式取等号.如果向量和都不是零向量，则当且仅当，即向量和共线时，以上不等式取等号，这时存在非零实数k,使，即所以，②(3)柯西不等式的向量形式:由以上分析

3、可知，不等式②与不等式①有相同的意义，所以我们把不等式②柯西不等式①的向量形式.探究2.在平面直角坐标系中，设点P1,P2的坐标为(x1,y1)，(x2,y2),根据的边长关系，你能发现这4个实数蕴涵着何种大小关系吗？OO根据两点间的距离公式以及三角形的边长关系，容易发现③当且仅当点与原点O在同一直线上并且点在原点O两旁时，③式中的等号成立.不等式③叫做二维形式的三角不等式.探究3.证明定理3（二维形式的三角不等式）：设,那么探究4.如何由不等式③得到更一般的形式？③由于不等式③对于任何实数都成立，不妨用代，用代，用代，用代，代入不等式③，得④探究5.你能结合平面直角坐标系，解释不等式④的几何

4、意义吗？三角形中三边之间的数量关系.不等式④仍被称为二维形式的三角不等式.又∴可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到位，简洁明了！合作探究分析：利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件。这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式，就能利用柯西不等式求其最大值.解：函数的定义域为[1，5]，且y>0当且仅当时等号成立，即时函数取最大值.点评：回顾本题的求解过程，可以体会其中式子变形的作用，提高利用柯西不等式解题的能力。学习小结学习小结二维形式的三角不等式：作业：P36－37T1－－9