【测控设计】高二数学人教A版选修4-5同步练习：31二维形式的柯西不等式

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1、03第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式A组1.已知x+y=l,则x4+y4的最小值是（）A."B「C.~D.1解析:由柯西不等式知（x4+v4）（12+12）>（x2+y2）2,因为兀+夕=1,所以,,所以x4+y4^当且仅当X=y=~时,等号成立.答案:B2.已知x+y=l,那么2x2+3y2的最小值是（）A.B.C.D.解析：2,+3尸=[（、厂）2+&））2][（J~）2+（J~）2]x_-V兀+门）2=一（卄叨2=-当且仅当2x=3yf即兀=一』=一时等号成立.答案:B3•函数y=Q・+2、/・的最大值是（）A.-TB.厂C.3D.5解析:根

2、据柯西不等式，知y=1XV■+2xj-W7J（J・）Q・）&,当且仅当即x=_时，等号成立.答案:B4•已知心>0,且卩=1,则-—的最小值为（）A.4B.2解析：~~C.lD.丁T2yT丁-7~=22=4,当且仅当x=y=时等号成立.答案:A5.己知2“+尹2=1,则Zv+y的最大值是（）、厂A.厂B.2C.aTD3解析:2x+y=^TVxJ（、厂）当且仅当x/~"=T，即兰=夕=时等号成立，即2x+y取到最大值答案:C5.设且/+力2=5,加a+M=5,则J的最小值为解析:由柯西不等式，得（口2+护）（〃/+〃2）$（6/〃卄饬7）2,即50/+/）225,•

3、:〃,+,$5,当且仅当an=bm时，等号成立.・：的最小值为a/.答案:、厂6.设实数©满足3x2+2/<6侧2x+y的最大值为.解析:由柯西不等式，得（2x+y）2^[（Tx）2+（G）2]-丁T=(3/+2夕2).__W6><—=]1.当且仅当3x=4y,即x=~时等号成立.因此2x+y的最大值为'~.答案:厂7.已知OA厂—+b—=1,求证a2+b2=l.分析:利用柯西不等式，把式子进行调整、变形.当且仅当J・时取等号.)2冬[/+(1・/)].[(1“2)+旳=1,故abd・J■，即a2b2=（i-a2（i-b2）,于是a2+b2=l.9.大家分别用“综合

4、法杯比较法”和“分析法”证明了不等式:己知a,b,c,d都是实数，且/+/=1,?+/=!,则ac+hd^.这就是著名的柯西（A.-L.Cauchy,法国数学家、力学家）不等式当n=2时的特例，即（ac+阳）《（/+尸）・（（?+孑）,等号当且仅当ad=bc时成立.请用自然语言叙述柯西不等式，并用一种方法加以证明.解:数学语言叙述柯西不等式：若R,则(必+阳)2冬(/+/?2)(/+/),等号当且仅当ad=bc时成立.二维形式的证明:{a+/?2)(c2+J2)=a2-c2+b2-J2+a2-d2+/?2*c2=a2•c?-^labcd+b2'cP+a2•d2-2a

5、bcd+b2•c1=(ac+bd)2+(ad・bcY2(ac^bd)2,当且仅当ad-bc=O,艮Fad=bc时，等号成立.10.已知&为锐角,q,R>0,求证（°+府£证明:设>11=',n=(cos&,sin&),则

6、&+b

7、==

8、m-n

9、^

10、m

11、

12、n

13、=当且仅当訣sin%*eR时等号成立.•：(a+b)2WB组1.如果实数加，心,尹满足〃/+/=a#+y2=b,其中a,b为常数，那么mx+nv的最大值为（）-VD.A.C.解析:由柯西不等式，得（加x+z?沙W（加2+/）（『+尹2）=也当m=n-答案:B__2.函数y=3<:+4/:的最大值为.解析：：尸=(3丁

14、^+4/^)2W(3?+4?)[(+(/^)勺=25(x-5+6-x)=25,当且仅当3丁■=4，■,即x=时等号成立.・：函数尹的最大值为5.答案：53.已知Q0,加均为正数，且a+b=,nm=2,5!lJ(am+bn)-(bm+an)的最小值为.解析:根据二维形式的柯西不等式的代数形式知(/+毗2+护)*C+加)2,可得(am+bn)(hm-^an)=(af?卄b”)(an+加)$(、V—V—l)1=mn(a^-b)2=2x1=2,当且仅当，即m=n=yT时，取得最小值2.答案：24•函数y=J・J・的最大值为.解析：：戶/^V-,W7厂刁T当且仅当yT即"—

15、时等号成立答案:、厂5.己知7+尹2=2,且*明尹

16、,求()(-)的最小值.解:令u=x-iy,v=x-y,^]x=,y=Sx2+y2=29Z(z/+v)2+(«/-v)2=&.：/+『=4.由柯西不等式，得——(/+內$4,当且仅当w2=v2=2,即尸士厂/二。,或兀=0』=土、厂时,()(-)的最小值是1.6.(2015陕西高考)已知关于x的不等式

17、兀+a

18、

19、2

20、兀+4得-b-a