高中数学选修4-5 教案一 二维形式的柯西不等式

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1、精品一二维形式的柯西不等式(1)教学要求:认识二维柯西不等式的几种形式,理解它们的几何意义,并会证明二维柯西不等式及向量形式.教学重点:会证明二维柯西不等式及三角不等式.教学难点:理解几何意义.教学过程:一、复习准备:1.提问:二元均值不等式有哪几种形式?答案:及几种变式.2.练习:已知a、b、c、d为实数,求证证法:(比较法)=….=二、讲授新课:1.教学柯西不等式:①提出定理1:若a、b、c、d为实数,则.→即二维形式的柯西不等式→什么时候取等号?②讨论:二维形式的柯西不等式的其它证明方法?证法二:(综合法).(要点:展开→配方)证法三:(向量法)设向量,,则,.∵,且,则.∴…..证

2、法四:(函数法)设,则≥0恒成立.∴≤0,即…..③讨论:二维形式的柯西不等式的一些变式?变式:或或.④提出定理2:设是两个向量,则.即柯西不等式的向量形式(由向量法提出)→讨论:上面时候等号成立?(是零向量,或者共线)⑤练习:已知a、b、c、d为实数,求证.精品证法:(分析法)平方→应用柯西不等式→讨论:其几何意义?(构造三角形)2.教学三角不等式:①出示定理3:设,则.分析其几何意义→如何利用柯西不等式证明→变式:若,则结合以上几何意义,可得到怎样的三角不等式?3.小结:二维柯西不等式的代数形式、向量形式;三角不等式的两种形式(两点、三点)三、巩固练习:1.练习:试写出三维形式的柯西不

3、等式和三角不等式2.作业:教材P374、5题.二维形式的柯西不等式(二)教学要求:会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题,体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系,经过适当变形,依据经典不等式得到不等关系.教学重点:利用二维柯西不等式解决问题.教学难点:如何变形,套用已知不等式的形式.教学过程:一、复习准备:1.提问:二维形式的柯西不等式、三角不等式?几何意义?答案:;2.讨论:如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式,拓广到三维、四维?3.如何利用二维柯西不等式求函数的最大值?要点:利用变式.二、讲授新课:1.教学最大(小)值:①出示例1:求函数的最大值?分析:

4、如何变形?→构造柯西不等式的形式→板演→变式:→推广:②练习:已知,求的最小值.解答要点:(凑配法).讨论:其它方法(数形结合法)2.教学不等式的证明:精品①出示例2:若,,求证:.分析:如何变形后利用柯西不等式?(注意对比→构造)要点:…讨论:其它证法(利用基本不等式)②练习:已知、,求证:.3.练习:①已知,且,则的最小值.要点:….→其它证法②若,且,求的最小值.(要点:利用三维柯西不等式)变式:若,且,求的最大值.3.小结:比较柯西不等式的形式,将目标式进行变形,注意凑配、构造等技巧.三、巩固练习:1.练习:教材P378、9题2.作业:教材P371、6、7题

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