定积分及其应用习题课.doc

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1、定积分及其应用习题课1．求极限：；2．设为上的非负单调增加的连续函数，又是它的反函数，试用定积分的几何意义证明：。3．设为上的单调增加的连续函数，，，又是它的反函数，试用定积分的几何意义说明：对任意的，总有，并进一步说明等号成立的条件。4．设在恒正，，，将下列积分值按大小顺序排列：，，。5．计算。6．计算。7．设，求。8．设，求。9．设及其反函数都可微且有关系式，求。10．求多项式f(x)使它满足方程。11．设，其中，求。广义积分中值定理：设在连续，在可积并且不变号，则在上至少存在一点，使得：。12．证明下面极限：（1）；3/3（2）。13．设在上连续，且，求证

2、：14．证明恒等式：。15.设在上连续，且单调增加，试证明对任何，皆有。16．设在连续，，证明，其中。17．设在连续，在可导，且，证明：在内至少存在一点，使。18．设在可微，且满足，证明：在内至少存在一点，使。19．设在可微，且满足，证明：在内至少存在一点，使。20．设在连续，在可微，且满足，证明：在内至少存在一点，使。21．设在上连续，且，试证：至少存在一点，使得3/322．设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且，若存在，证明：（1）在(a,b)内f(x)>0；(2)在(a,b)内存在点,使；（3）在(a,b)内存在与相异的点，使。23．设在

3、上连续，证明：是周期为的函数的充分必要条件为：积分值与无关。24．试确定常数的值，使反常积分收敛，并求出积分值。25.在区间上求一点，使曲线与，及所围图形面积最小。26．设在上连续，且严格增加，证明在内存在一点，使曲线与两直线所围图形的面积是曲线与两直线所围图形的面积的三倍。27．设平面图形由与所确定，求图形绕直线旋转一周所得旋转体的体积。28．证明曲边扇形绕极轴旋转而成的体积为29．半径为R,密度为的球沉入深为H(H>2R)的水池底,水的密度，现将其从水池中取出,需做多少功?30．为清除井底污泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口，已知井深30m，抓斗自

4、重400N，缆绳每米重50N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度为3m/s，在提升过程中污泥以20N/s的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升到井口,问克服重力需作多少焦耳(J)功?31．一半径为米的圆形水闸门垂直立于水中，求水面与闸顶同样高时，闸门所受侧压力。3/3