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1、第五章定积分本章知识结构导图数学家的故事:莱布尼兹简介莱布尼兹(G.W.Leibniz,1646-1716),是德国最重要的数学家、物理学家、历史学家和哲学家,一个举世罕见的科学天才,和牛顿同为微积分的创建人.生于莱比锡,卒于汉诺威.莱布尼兹的父亲在莱比锡大学教授伦理学,在他六岁时就过世,留下大量的人文书籍,早慧的他自习拉丁文与希腊文,广泛阅读.1661年进入莱比锡大学学习法律,又曾到耶拿大学学习几何,1666年在纽伦堡阿尔多夫大学通过论文《论组合的艺术》,获法学博士,并成为教授,该论文及后来的一系列工作使他成为数理逻辑的创始人．166
2、7年,他投身外交界,游历欧洲各国,接触了许多数学界的名流并保持联系,在巴黎受惠更斯的影响,决心钻研数学．他的主要目标是寻求可获得知识和创造发明的一般方法,这导致了他一生中的许多发明,其中最突出的是微积分．与牛顿不同,他主要是从代数的角度,把微积分作为一种运算的过程与方法;而牛顿则主要从几何和物理的角度来思考和推理,把微积分作为研究力学的工具．莱布尼茨于1684年发表了第一篇微分学的论文《一种求极大极小和切线的新方法》．是世界上最早的关于微积分的文献,虽仅6页,推理也不清晰,却含有现代的微分学的记号与法则．1686年,他又发表了他的第一篇
3、积分论文,9由于印刷困难,未用现在积分记号“”,但在他1675年10月的手稿中用了拉长的“”,作为积分记号,同年11月的手稿上出现了微分记号．有趣的是,在莱布尼兹发表了他的第一篇微分学的论文不久,牛顿公布了他的私人笔记,并证明至少在莱布尼兹发表论文的10年之前已经运用了微积分的原理．牛顿还说:在莱布尼兹发表真成果的不久前,他曾在写给莱布兹的信中,谈起过自己关于微积分的思想．但是,事后证实,在牛顿给莱布尼兹的信中有关微积分的几行文字,几乎没有涉及到这一理论的重要之处．因此,他们是各自独立地发明了微积分．莱布尼兹思考微积分的问题大约开始于1
4、673年,其思想和研究成果,记录在从该年起的数百页笔记本中．其中他断言,作为求和的过程的积分是微分的逆．正是由于牛顿在1665～1666年和莱布尼兹在1673～1676年独立建立了微积分学的一般方法,他们被公认为是微积分学的两位创始人．莱布尼兹创立的微积分记号对微积分的传播和发展起了重要作用,并沿用至今．莱布尼兹的其他著作包括哲学、法学、历史、语言、生物、地质、物理、外交、神学,并于1671年制造了第一架可作乘法计算的计算机,他的多才多艺在历史上少有人能与之相比．9本章小结 本章主要掌握定积分的
5、概念、意义、性质以及会用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分.一、定积分的概念、意义与性质1.概念:定积分源自于求曲边梯形的面积,它的计算形式为:,结果是一个数值,其值的大小取决于两个因素（被积函数与积分限）．2.几何意义:是曲线之间与轴所围的面积的代数和;3.经济意义:若是某经济量关于的变化率（边际问题）,则是在区间中的该经济总量．4.性质:本章共列了定积分的八条性质,其中以下几条在计算定积分中经常用到.（1）;（2）;（3）;（4）;（5）.二、定积分的计算1．牛顿—莱布尼兹公式:若在上连续,是的一个原函数,则.2．换元法:若在连续,在上有
6、连续的导数,且单调,则有．3.分部积分法:若与在上有连续的导数,则有.三、定积分的应用1.求平面区域的面积,一般有两类公式:关于积分:9关于积分:2.定积分的经济应用,重点是已知某经济量（如成本、收益、利润）的变化率,求在生产阶段的经济总量．综合练习 一、判断题1.设在区间上连续，则函数在区间上一定可积；2.；3.定积分在是收敛的；4.若在上连续，则；5.积分不能用牛顿━━莱不尼兹公式计算；6.；7.若在上连续，则；8.设,则；9.；10.；11.定积分在时是收敛的；二、填空题91.
7、________；2.定积分=________；3.若广义积分，其中为常数，则_______；4.定积分_______；5._______；6._______；7.广义积分_______；8.________；9.设在上连续，则_______；10.若函数在上连续，可导，则______；11.当_____时，有极值；12.设，则_________；13.若，则__________；14.________；15.___________；16.___________；91.若，则_________；2.________.19、由轴所围图形的
8、面积为（）．二、选择题1.()(A)(B)(C)(D)2.下列积分可直接使用牛顿─莱不尼兹公式的有()(A)(B)(C)(D)3.设为连续函数，则为()(A)的一个原函数(B)的所有原函数(C)的一个原函数
