定积分及其应用习题课

《定积分及其应用习题课》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、定积分及其应用习题课问题1:曲边梯形的面积问题2:变速直线运动的路程存在定理广义积分定积分定积分的性质定积分的计算法牛顿-莱布尼茨公式一、主要内容定积分的应用1、问题的提出实例1（求曲边梯形的面积A）实例2（求变速直线运动的路程）方法:分割、求和、取极限.2、定积分的定义定义记为可积的两个充分条件：定理1定理23、存在定理4、定积分的性质性质1性质2性质3性质5推论：（1）（2）性质4性质7(定积分中值定理)性质6积分中值公式5、牛顿—莱布尼茨公式定理1定理2（原函数存在定理）定理3（微积分基本公式）也可写成牛顿—莱布尼茨公式6、定积分的计算法换元公式（1）换元法（2）分部积分法

2、分部积分公式７、广义积分(1)无穷限的广义积分(2)无界函数的广义积分5、定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积直角坐标情形如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积参数方程所表示的函数极坐标情形(2)体积xyo平行截面面积为已知的立体的体积(3)平面曲线的弧长弧长A．曲线弧为弧长B．曲线弧为C．曲线弧为弧长(4)旋转体的侧面积xyo五、定积分在经济上的应用主要目的：如已知目标函数的边际函数，如何求原函数（即目标函数）例1.求解:因为时,所以利用夹逼准则得典型例题:一、与定积分概念有关的问题的解法思考例1下列做法对吗?利用积分中值定理不对!因为依赖于且说明:故没理由认为解：将数

3、列适当放大和缩小，以简化成积分和形式已知利用夹逼准则可知(1998考研)例2.求思考:提示:由上题故练习:1.求极限解：原式2.求极限提示：原式左边=右边例3.估计下列积分值解:因为∴即例4.证明证:令则令得故例5.设在上是单调递减的连续函数，试证都有不等式证明：显然时结论成立.(用积分中值定理)当时,故所给不等式成立.明对于任何例6.且由方程确定y是x的函数,求解：方程两端对x求导,得令x=1,得再对y求导,得故例7.求可微函数f(x)使满足解:等式两边对x求导,得不妨设f(x)≠0,则注意f(0)=0,得例8.求多项式f(x)使它满足方程解:令则代入原方程得两边求导:可见f(

4、x)应为二次多项式,设代入①式比较同次幂系数,得故①再求导:二、有关定积分计算和证明的方法1.熟练掌握定积分计算的常用公式和方法2.注意特殊形式定积分的计算3.利用各种积分技巧计算定积分4.有关定积分命题的证明方法思考:下列作法是否正确?例9.求解:令则原式例10.选择一个常数c,使解:令则因为被积函数为奇函数,故选择c使即可使原式为0.例11.设解:例12.如图,曲线C的方程为解:是它的一个拐点,线,其交点为(2,4),设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切(2005考研)＝043211234xO例13.若解:令试证

5、:则因为对右端第二个积分令综上所述例14.证明恒等式证:令则因此又故所证等式成立.例15.试证使分析:即证故作辅助函数至少存在一点即证明:令在上连续,在至少使即因在上连续且不为0,从而不变号,因此故所证等式成立.故由罗尔定理知,存在一点思考:本题能否用柯西中值定理证明?如果能,怎样设辅助函数?要证:提示:设辅助函数例15例16.设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且(1)在(a,b)内f(x)>0;(2)在(a,b)内存在点,使(3)在(a,b)内存在与相异的点,使(2003考研)证:(1)由f(x)在[a,b]上连续,知f(a)=0.所以f(x)在(a,

6、b)内单调增,因此(2)设满足柯西中值定理条件,于是存在即(3)因在[a,]上用拉格朗日中值定理代入(2)中结论得因此得例16题例17.设证:设且试证:则故F(x)单调不减,即②成立.②例18.设在上是单调递减的连续函数，试证都有不等式证明：显然时结论成立.(用积分中值定理)当时,故所给不等式成立.明对于任何例19.求抛物线在(0,1)内的一条切线,使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解:设抛物线上切点为则该点处的切线方程为它与x,y轴的交点分别为所指面积且为最小点.故所求切线为得[0,1]上的唯一驻点例20.设非负函数曲线与直线及坐标轴所围图形(1)求函数(2)a为何值

7、时,所围图形绕x轴一周所得旋转体解:(1)由方程得面积为2,体积最小?即故得又(2)旋转体体积又为唯一极小值点,因此时V取最小值.例21.过坐标原点作曲线轴围成平面图形D.(1)求D的面积;(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积.解:(1)设切点的横坐标为则所求切线方程为由切线过原点知的切线.该切线与曲线因此故切线方程为D的面积为1(2003考研)(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积.切线、x轴及直线所围三角形绕直线旋转所得圆锥的体积为曲线、x轴及直线所围图形绕