《定积分及其应用》doc版

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3、–莱不尼兹公式关于定积分的概念，可通过几个实例引入特定和式的极限，从中抽象出定积分定义，抓住定义中的本质内容，分割、近似、求和、取极限来进行阐述，并能解释定义和有关性质的几何意义，帮助加深和理解。定积分的性质和牛顿–莱不尼兹公式是构成本章的基本理论。各性质都是在连续条件下导出的，讲授时，应使学生正确理解它们的形成和作用。对于变上限的定积分的重要性质必须分析透彻，从而才能使学生理解定积分与不定积分的联系、区别，达到熟练掌握微积分基本公式。（三）换元积分法、分部积分法换元积分法和分部积分法构成本章的基本方法，应强调换元积分与不定积分的换元积分之区别，教学中以正反两方面的具体例子讲清“换元

4、要换限”，让学生熟练掌握这些基本方法。（四）广义积分广义积分作为定积分的扩充，应强调它实际上是普通定积分的极限，应培养学生对广义积分尤其是无界函数广义积分的识别能力。（五）微元法（定积分应用）定积分应用应着重讲透处理问题的思想方法微元法，关于积分法，可通过回顾定积分定义，介绍什么是微元法，以及微元法所满足的条件。对微元法的取法，上下限的确定，应通过足够例子熟练运用定积分表示一些几何、物理量。二、补充例题例1.设连续，且，求.解：记，则两端积分得：，例2.证明不等式证：，故即上式左端为2的二次三项式，故其判别式不大于0，即得：.例3.设在连续且递减，证明：当时，.证：，，又证，作，则只

5、需证：，又，故当，例4．设在上有一阶连续导数，证明：证：由积分中值定理，即，例5.设在上连续，，，，证明：.证：由在上连续，故有最大值，，分别在区间，上应用拉格朗日中值定理，有：，，从而例6.设，在上连续，证明至少存在一个使证：作，由于，在上连续，所以在上连续，在内可导，并有由罗尔定理，存在，使，即例6.设连续，证明：证：令，则（对第二个积分，令）例7.设函数在上连续且单调增加，证明在内存在点，使曲线与两直线，所围平面图形面积是曲线与两直线，所围图形面积的三倍。证：设是上任一点，与分别表示图中两块曲边三角形面积，由于是的连续函数，只要证明该函数在内有零点即可。构造函数由于连续，因此2

6、在上连续，又由连续函数介值定理知，使故即例6.设平面图形A由与所确定，求图形A绕直线旋转一周所得的旋转体体积解：因与直线的交点为和，选为积分变量，，相应平面图形绕旋转一周所得的旋转体的体积微元为其中，，故得：积分得：第一个积分中，令，得例10.设函数在闭区间，在开区间内大于零，并满足（常数），又曲线与，所围图形的面积值为，求函数，问为何值时，图形绕轴旋转一周所得的旋转体体积最小？解：由题设知，当时，即，由在连续性得，又由已知条件得：从而，因此由于旋转体的体积为令，，所以当时，该旋转体体积为最小。三、补充练习1.求.（0）2.求①②（①②）3．设，求.4．函数在上连续，证明：，并由此计

7、算5．求①②6．设函数在上，且，则在内至少存在一点，使得7．设，求8.若曲线与轴，轴所围成的面积被曲线和三等分，试确定，之值9.求曲线，直线，及轴所围成的图形绕轴旋转一周所产生的旋转体体积10.半径为的球沉入比重为1的水中，水平面恰好淹没球面，问把球从水中取出需作多少功？膈莀螄肃莃莆螃膅芆蚅螂袅蒂薁螂羇芄蒇螁肀蒀莃螀膂芃蚁衿袂肆薇袈羄芁蒃袇膆肄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肀莈薀袄膃膀蒆羃袂莆莂羂羅腿蚁羁肇莄薇羀艿膇薃羀罿蒃葿薆肁芅莅薅膄蒁蚃薄袃芄蕿薃羆葿蒅蚃肈节莁