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《高考专题复习空间向量与立体几何（王业康）2011.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、高考复习专题向量与立体几何2011.4专题要点1．利用向量证明平行问题（1）直线与直线的平行：设是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为，那么。根据实数与向量积的定义：。（2）平面与平面平行可以转化两个平面的法向量平行：设两个不重合的平面的法向量分别为，那么。（3）直线与平面平行可以转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直：设直线在平面外，是的一个方向向量，是平面的一个法向量，那么。另外，平面表示以为方向向量的直线与向量平行或在平面内，因此也可以由共面向量定理证明线面平行问题。2．利用向量证明垂直问题（1）线线垂直：设分别为直线的一个方向向量，那
2、么；（2）线面垂直：设直线的方向向量为，平面的法向量为，那么。3．利用向量求解角度问题（1）异面直线所成的角：利用异面直线的方向向量的夹角来求异面直线所成的角。向量的夹角范围是，而两异面直线所成角的范围是，应注意加以区分。（2）直线与平面的夹角：利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角求直线与平面的夹角。有：，。（3）二面角：设分别是二面角的面的法向量，则＜＞就是所求二面角的平面角或其补角的大小（利用具体图形判断）。4．利用向量求解距离问题立体几何中涉及到距离的问题比较多，如两点的距离、点与线的距离、点与面的距离、线与面的距离、两异面直线的距离问
3、题等。此部分若用向量来处理，则思路较为简单。点到平面的距离：设平面α的一个法向量为，点P是平面α外一点，且Po∈α，则点P到平面α的距离是d＝.例题选讲例1：如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，,,,为的中点，为的中点（1）证明：直线；（2）求异面直线AB与MD所成角的大小；（3）求点B到平面OCD的距离。方法一（综合法）略方法二(向量法)作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,(1)设平面OCD的法向量为,则即取,解得，(2)设与所成的角为,,与所成角的大小为(3)设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对
4、值,由,得.所以点B到平面OCD的距离为例2：如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分别是BC,PC的中点.（1）证明：AE⊥PD;（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E—AF—C的余弦值.（1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形.因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.又BC∥AD，因此AE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.而PA平面PAD，AD平面PAD且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，又PD平面
5、PAD.所以AE⊥PD.（2）（理）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.由（1）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.在Rt△EAH中，AE=，所以当AH最短时，∠EHA最大，即当AH⊥PD时，∠EHA最大.此时tan∠EHA=AH=.又AD=2，所以∠ADH=45°，PA=2.由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以E、F分别为BC、PC的中点，所以A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0），D（0，2，0），P（0，0
6、，2），E（，0，0），F（），所以设平面AEF的一法向量为则因此因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以BD⊥平面AFC，故为平面AFC的一法向量.又=（-），所以cos＜m,＞=因为二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为例3：正四棱锥S－ABCD中，O为底面中心，E为SA的中点，AB＝1，直线AD到平面SBC的距离等于．SABCDOEMxyz（1）求斜高SM的长；（2）求平面EBC与侧面SAD所成锐二面角的大小；解法一：（略）（1）解法二：（1）建立空间坐标系（如图）∵底面边长为1，∴，，，．设，平面SBC的一个法向，则
7、，．∴，．∴y＝2h，n＝（0，2h，1）．而＝（0，1，0），由题意，得．解得．∴斜高（2）n＝（0，2h，1）＝，由对称性，面SAD的一个法向量为n1＝设平面EBC的一个法向量n2=（x，y，1），由，，得解得∴．设所求的锐二面角为α，则，∴．例4：已知平面，平面，△为等边三角形，，为的中点.(1)求证：平面；(2)求和平面所成角的正弦值.设，建立如图所示的坐标系，则.∵为的中点，∴. (1)证明，∵，平面，∴平面. (2)设平面的法向量为，由可得：，取.又，设和平面所成的角为，则.∴直线和平面所成角的正弦值为.巩固练习：1.正方体的棱上到
8、异面直线AB，的距离相等的点的个数为42.a、b、c为三条不重合的直线，、、为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：（1）；（2）；（3）
