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1、空间向量与立体几何专题利用空间向量解决立体几何中位置关系平行，垂直，角度问题，距离问题（体积），探索性问题等。1.正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，，点M是EC中点.（I）求证：BM∥平面ADEF；（II）求BM与平面BDE所成角的正弦值.答案及解析：1.（1）设为的中点，因为是的中点，因此，所以四边形是平行四边形，------4分因为--6分（2）因为点是中点，所以.，-------7分正方形与梯形所在平面互相垂直，因为，且与相交于D,到面的距离---------8分.又是直角三角形，则---9分设到面的距离，.-----10分13，---11分所以所成角的正弦值为----1
2、2分2.如图,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2,底面ABC⊥侧面AA1B1B,为CC1的中点,.(1)证明：AB1⊥平面A1OP.(2)若M是棱AC上一点,且满足,求二面角的余弦值.答案及解析：2.解：(1)取的中点，连接，易证为平行四边形，从而.由底面侧面，底面侧面，，底面，所以侧面，即侧面，又侧面，所以，又侧面为菱形，所以，从而平面，因为平面，所以.(2)由(1)知，，，，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.因为侧面是边长为2的菱形，且，所以，，，，，，得.设，得，所以，所以.13而.所以，解得.所以，，.设平面的法向量，由得，取.而侧面的一个法向量.设二面角的大小为.则
3、3.如图，在Rt△ABC中，，点E、F分别在线段AB和AC上，且，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置，使得二面角的大小为60°.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）当点E为线段AB的靠近B点的三等分点时，求PC与平面PEF所成角的正弦值.答案及解析：3.证明：（Ⅰ）,翻折后垂直关系没变，仍有（Ⅱ）是二面角P-EF-B的平面角，，又PE=2,BE=1,由余弦定理得PB=,两两垂直.以B为原点，BC所在直线为X轴，BE所在直线为Y轴，建立如图直角坐标系.13则P(0,0,),C(3,0,0),E(0,1,0),F(2,1,0).设平面PEF的法向量由可得.故PC与平面PEF所成的角的正弦值为.4.如图，在圆
4、锥PO中，已知，⊙O的直径AB=2，点C在底面圆周上，且，D为AC的中点．（Ⅰ）证明：OD∥平面PBC；（Ⅱ）证明：平面PAC⊥平面POD；（Ⅲ）求二面角A-PC-O的正弦值.答案及解析：4.证明：（Ⅰ）∵D为AC的中点，O为⊙O的圆心,则∥,…………2分∵平面，平面，…………4分13∴∥平面。…………5分证明：（Ⅱ）∵，是的中点，∴.又底面⊙底面⊙，∴，…………7分∵,平面，∴平面,…………9分∵平面,∴平面平面；…………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，平面平面，在平面中，过作于，则平面。过作,垂足为,连结，则由三垂线定理得,∴是二面角的平面角.…………12分在中，,在△中,可求得,∴在△中,,
5、∴.即二面角的正弦值为．…………15分5.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，，，且AC，BD交于点O，E是PB上任意一点．13（1）求证：；（2）若E为PB的中点，且二面角A-PB-D的余弦值为，求EC与平面PAB所成角的正弦值．5.（1）因为DP⊥平面ABCD，所以DP⊥AC，因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD，因为DE⊂平面PBD，∴AC⊥DE．（4分）（2）连接OE，在△PBD中，EO∥PD，所以EO⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，（5分）
6、设PD=t，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，0，0），E（0，0，），P（0，﹣，t）．设平面PAB的一个法向量为（x，y，z），则，令，得，平面PBD的法向量（1，0，0），因为二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，所以，所以或（舍），（9分）则∴，∴EC与平面PAB所成角的正弦值为．136.如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，，，，点M，E分别是PA，PD的中点．（I）求证：CE∥平面PAB；（II）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DM所成角最小时，求线段BQ的长．答案及解析：6.(Ⅰ)证明：连接，，因为点，分别是，的中点，所以，
7、//，所以//，，所以四边形为平行四边形，所以//．…………………………………………………………………3分又因为平面，平面，所以//平面．…………………………………………………………4分(Ⅱ)解：如图，以为坐标原点建立空间坐标系，13则，，，，．………………5分所以，，设，，………………………………………6分又，所以．……7分设，则，，所以，，当且仅当，即时，取得最大值，即直线与所成角取得最小值，此时．……………10分7
