圆锥曲线中求三角形面积问题的解题策略.pdf

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1、·解题秘笈·2014年第3期=}IOFI‘lyl-yz1=1×1X／—(yt+y2)—2-4yty2=1×圆锥曲线中求三角形面积问X／16-4x(-4)=2、／2题的解题策略点评：此类题将一个三角形分割成Jl，两个小三角形，小三角形的一边长易通过直线的截距求得，两个小三角形对应湖北宜昌田家炳高级中学胡爱斌、／／／边上的高与三角形顶点的纵(横)坐标有着密切的联系，通过这种方法求解简圆锥曲线中求三角形面积问题很常见，此类题若方法便易行。选取不当将直接影响解题的速度与准确率，如下看三种解例4：已知曲线C：x-y~=l及直线题策略。hy=一1，若l与C交于A、B两点，0是坐

2、标原点，求一、正、余弦定理相结合AAOB的面积。例l：双曲线告一手=1pTCj,~p，、是双曲线的焦解析：设A、B两点的坐标分别为(。，y1)点，且FIPF2=，求△矾的面积。f2=1解析：设I踊I=m，l踢I=n，由双曲线的定义可知Im—nl=由{争一1消y得3+缸_8_02a=8，Im—nl2=64即m2+~2-2mn=64(1)双曲线渐近线为，直线y争一1斜率为，一1<在△中，IFIF2I=2c=10，由余弦定理得m+n2-2mn—1<1，由此知直线与双曲线交于不同两支。'ITco=100(2)‘．．Js△^0B=．s十S△(2)一(1)，整理得mn：36··

3、·SAFIpF2=争mn．sin手=9、／=1IOMI·zI=1×1"~／—(Xl+X2)2—-4XlX2=1×1×2例2：已知、是椭圆昔l的两个焦点，P、／(手)×手=}是椭圆上一点，／-F1PF2=，求AF~PF2的面积．点评：此题还可找出直线和轴交点N，由Js

4、s解析：设fI=m，lPF2l=n，由椭圆的定义可知m+n=20，旷s衄IONY~-Y2l求解，不过要注意数形结合，在AFIPF2中，由余弦定理得m+n2—2mncos"iT=IF~F21Z=-144否则写成

5、s△AIOMl·lywy：J就会出错。即(m+n)z_3m／7,=144．又m+n：2o=20

6、．mn：三、直接用三角形面积公式用底乘高的一半解上述例4。SAF1PF2=争lPF2I．sin=争mn．sin手=}×解析：先用弦长公式求，再用点到直线的距离公式求64X／33^2一——3—边所对应的高，最后用三角形面积公式求解即可。具体解答如下：点评：求解焦点三角形的面积问题，若结合圆锥曲线f1谤数外学司的定义，用余弦定理得出三角形的边与角的关系式，再用{y：}一1消y得3+缸-8’0公式Js=sinC算面积，设而不求，往往能极大地减少计算量。lA曰I=、／‘l-叫：l=、／1+(争)×l二、用分割法例3：一三角形以抛物线y~=4x的焦"X,／—(XI+X2)—2

7、-4X,X2=孚×、／()×孚=}点弦为一边，另一个顶点在原点，若焦点设点0到直线一2y一2=0的距离为d，则d=弦所在直线的斜率为1，求此三角形的面I=l：积。、／、／解析：如图1，将AABC分割成两个小三角形求解。s}×争×=依题意，焦点弦所在直线方程为y=x一1。设A、B两点点评：此法要用点到直线的距离公式求高，计算量虽的坐标分别为(。。)、比用分割法求三角形的面积稍大点，但在解形如例4这样{得产=。类型的题时无需考虑直线与双曲线交于同一支还是不同两支．也无需作图，思路简洁，不易出错。sss