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《第4章(矩阵对角化)线性代数及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第4章矩阵的对角化向量的内积 长度与正交方阵的特征值与特征向量相似矩阵实对称矩阵的对角化Mathematica软件应用第4章矩阵的对角化矩阵特征值理论在许多实际问题的解决中起着重要作用.本章着重介绍矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，给出矩阵与对角矩阵相似的条件、计算方法，并对实对称矩阵的对角化进行了讨论.第4.1节向量的内积 长度与正交在向量代数中给出了向量长度、夹角和数量积等概念，本节将这些概念推广到n维向量空间，在此基础上介绍正交向量组概念和将线性无关向量组化为正交向量组的一种方法。向量的内积向量
2、的长度正交向量组Schimidt正交化方法正交矩阵1.向量的内积(1)3维向量的数量积(内积)已知向量,R3,称实数·=
3、
4、
5、
6、cos为与的数量积(内积),其中
7、
8、,
9、
10、分别为向量,的模,为与的夹角.当向量,相互垂直时，我们称,正交.因此有,正交数量积·=0.(2)n维向量空间内积为向量与内积.用矩阵记号可表示为Tβ或βT.内积的定义性质(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)当且仅当=0时，[,]=0.2.向量的长度、夹角 定义（向量的长度）称为n维向量
11、的长度(范数或模).注：长度为1的向量,称为单位向量.性质(i)(ii)(iii)例1解向量的夹角称为向量α与β的夹角.若[,]=0，称向量与β正交.定义1非零向量组中,若任意两个向量都正交,称这 个向量组为正交向量组.定义2正交向量组中,若每个向量都是单位向量,称这个向量组为标准正交向量组.即若1,2,…,n为标准正交向量组，则如下向量组是否为正交向量组?3.正交向量组定理正交向量组是线性无关的向量组.上例中1,2,3均为单位向量且两两正交,该向量组为标准正交向量组.定义3设1,
12、2,…,r是向量空间V的一个基，如果1,2,…,r是一个标准正交向量组,则称1,2,…,r为V的一个标准正交基.反之如何？两边同时与i作内积,得证注①基本单位向量组ε1,ε2,…,εn是Rn的一个标准正交基;②若1,2,…,r是向量空间V的一个标准正交基,则V中任意向量可由其线性表示为=[,1]1+[,2]2+…+[,r]r.解依题意3=（x1,x2,x3)T应满足例24.施密特（Schimidt）正交化方法由一组线性无关向量组出发，获得与其等价正交向量组的
13、过程称为向量组的正交化过程.定理(施密特正交化方法)给定n维向量空间Rn的任一线性无关向量组1,2,···,r,令则向量组1,2,…,r为正交向量组且与1,2,···,r等价.解设所求向量为x，则[x,1]=0,即例3基础解系为1,2,3即为所求.标准正交基求法（i）正交化设1,2,…，r为向量空间V的一个基，利用施密特（Schimidt）正交化方法得与之等价的正交基1,2,…,r.（ii）单位化（标准化）令注①若求与线性无关向量组等价的正交向量组，只要对该向量组应
14、用上面过程（i）正交化即可;②若η1，η2，…，ηr是向量空间V的一个正交基,则只要对该向量组应用上面过程（ii）进行单位化即可.解(i)正交化例4令(ii)单位化5.正交矩阵定义满足AAT=ATA=E的n阶方阵A称为正交矩阵.结论①若A为正交矩阵,则②若A,B是正交矩阵,则A-1,AT,AB也是正交矩阵.例如如下矩阵A是一个正交矩阵.满足AAT=E，同理得ATA=E.证定理n阶方阵A为正交矩阵A的列向量组(行向量组)都是标准正交向量组.将A用列向量表示为ATA为正交阵即A的列向量组(行向量组)都是
15、标准正交向量组.证记例5即B为正交矩阵.第4.2节方阵的特征值与特征向量基本内容：特征值、特征向量的概念和计算方法特征值、特征向量的性质1.特征值、特征向量的概念和计算方法(1)特征值与特征向量定义设A为n阶方阵,若存在数及非零列向量x,使Ax=x则称数为A的特征值,x为A的对应于的特征向量.注：①对应于同一特征值的特征向量不惟一；②一个特征向量不能对应于不同特征值.(2)相关概念将特征值与特征向量定义式Ax=x改写为x–Ax=0即(E–A)x=0称(3)特征值与特征向量求法依据(E–A
16、)x=0知：特征向量x为该齐次线性方程组的非零解；而齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的行列式E–A=0,即A的特征值为特征方程的根.步骤如下(i)求出特征方程E–A=0的全部根1,2,…,n,即A的全部特征值；(ii)对每个i,求方程组(iE–A)x=0的所有非零解，即为A的对应于特征值i的特征向量.分析例1求矩阵A的特征值和特征向量解(i)(ii)例2解(i)(ii)例3求矩阵A的特征值和特征向量解(i
