一个不可约矩阵为非奇异H矩阵的判定条件.pdf

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1、宝鸡文理学院学报（自然科学版），第27卷，第1期，第36-38页，2007年3月JournaIofBaojiUniversityofArtsandSciences（NaturaIScience），VoI.27，No.1，pp.36-38，Mar.2007＊一个不可约矩阵为非奇异H矩阵的判定条件杨亚强，于建伟（宝鸡文理学院数学系，陕西宝鸡721007）摘要：目的解决判断一个不可约矩阵为H矩阵的条件。方法采用逻辑推理的方法进行了证明。结果得到了当矩阵为不可约时，判断其为H矩阵的条件。结论此结果对于控制系统的稳定性、特征值分布、线性方程组迭代解等方面都具有重要的理论意义。关键词：非奇异H矩阵；对

2、角占优；不可约矩阵中图分类号：0246文献标识码：A文章编号：1007-1261（2007）01-0036-03AcriticalconditionforthematrixasnonsingularH-matricesYANGYa-giang，YUJian-wei（Dept.Math.，BaojiUniv.Arts&Sci.，Baoji721007，Shaanxi，China）Abstract：AimItisaimedatfindingoutthesoIutiontojudginganirreducibIematrixasanH-matri-ces.MethodsItisproofedby

3、IogicaIinferencemethod.ResultsItconcIudesthatwhenmatrixisirreducibIematrix，itcanbejudgedastheconditionofH-matrices.ConclusionTheresuIthasimportanttheorysignifi-canceforcontroIsystemstabiIity，characteristicvaIuedistribution，andsystemofIineareguationsiterativeso-Iution.Keywords：nonsinguIarH-matrix；d

4、iagonaIdominance；irreducibIematrixMSC2000：47A0S；47B6S1引言若aii>R（iA）i。N，则称A为严格对角占优非奇异H-矩阵是一类范围较广的特殊矩阵，它在矩阵，记为A。E；若存在正对角矩阵X，使得AX。E，数学物理迭代法的收敛性、控制系统的稳定性、特征值则称A为拟严格对角占优矩阵（A为非奇异H矩阵）。分布、线性方程组迭代解等方面有重要作用，特别是在定义2［2］设n（n>1）阶矩阵A=（a）。CnXn是ij线性方程组的讨论中往往假设系数矩阵是非奇异H矩不可约的，当且仅当对任何i一j，或者aij一0，或者存在阵，因为对于许多经典迭代法中的迭代矩

5、阵对于H矩i1，i2，⋯，im。N，使得下式成立：aii1ai1i2⋯aim-1imaimj一0。阵都是收敛的。因而简捷、迅速地判定一个矩阵是否是［2］引理1设A为不可约矩阵，X为正对角矩阵，H矩阵，便成为理论和应用中一个十分有意义的问题。若有B=AX，则B也为不可约矩阵。但是实际上用定义是很难判断的，在文献［1］中给出了引理2若A为不可约对角占优矩阵，则A为非奇判定H矩阵的充分条件，本文以文献［1］给出的判定条异H矩阵。件为基础，进一步给出在不可约的条件下矩阵为H矩证明若A为不可约对角占优矩阵，则显然aii一阵的判定条件。［2］0（i，j=1，2，⋯，n），否则若存在i0。N使得ai0i

6、0=0则定义1设M（nC）为n阶复矩阵的集合，nM（nR）为n阶实矩阵的集合，由aii＞zaij，i，j=1，2，⋯，n，则ai0j=0，j=1，2，j=1，j一iA=（aij）。M（nC）R（iA）=zaij⋯，n，这与A是不可约矩阵相矛盾。j一ii，j=｛1，2，⋯，n｝，为了证明A非奇异，只需要证明AX=0只有零解＊收稿日期：2006-09-20.E-maiI：yyg20021977@163.com基金项目：宝鸡文理学院院级重点科研基金资助项目（ZK069S）；宝鸡文理学院中青年科研基金支助项目（OK2S10）作者简介：杨亚强（1978-），男，陕西宝鸡人，讲师，研究方向：并行算法.

7、第l期杨亚强等一个不可约矩阵为非奇异H矩阵的判定条件37Iaiìli。Nl即可，将AX=0改写为：xi=-zx=za'ix。其一iaii=lïR（iA）-Hiïi。N0=ix=2iíR（iA）中a'i=aiïïR（A）{-一iii。Naî3iiaii记M=maxxi=xi0，则有其中Hi=min｛ai>0｝i，=l，2，⋯，I。由引理II3，下面只需要证明B为不可约对角占优矩阵即可。M=xi0＜za'i0x＜Mza'i0