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1、第18卷第1期数学研究与评论Vol.18No.11998年2月JOURNALOFMATHEMATICALRESEARCHANDEXPOSITIONFeb.1998X非奇H矩阵与M-矩阵的等价条件李 庆 春(吉林师范学院数学系,吉林市132011)摘 要 本文引进了局部对角占优矩阵的概念,得到了非奇H矩阵与M2矩阵的等价条件与判定准则,改进了文[1]的主要结果.关键词 局部对角占优矩阵,非奇H矩阵,M2矩阵.分类号 AMS(1991)15A57öCCLO151.211 引 言n×n设A=(aij)∈C,记+i(A)
2、=∑ûaijû.若ûaiiû>+i(A),Pi∈N={1,2,⋯,n},则j≠i称A为严格对角占优矩阵,记为A∈D;若存在正对角阵X使AX∈D,则称A为非奇H矩3阵,记作A∈D.最近,文[1]给出了若干非奇H矩阵的简捷判据.本文引入了局部对角占优矩阵的概念,得到了非奇H矩阵和M2矩阵的等价条件和判定条件.从而改进了文[1]的主要结果.本文引入下列记号与约定:+i(A)记N1,N2AN,N=N1ÝN2,及Ri(A)=,i∈N,且记ûaiiûJ(A)={i∈Nûûaiiû>+i(A)},+N1(A)={i∈N1û+i
3、(A)>∑ûaitûRt(A)},t∈N,t≠i10N1(A)={i∈N1û+i(A)=∑ûaitûRt(A)},t∈N,t≠i1+N2(A)={i∈N2ûûaiiû>∑ûaitû},t∈N,t≠i20N2(A)={i∈N2ûûaiiû=∑ûaitû},t∈N,t≠i2•J(A)={i,j∈Nû(+i(A)-∑ûaitûRt(A))(ûajjû-∑ûajtû)t∈N,t≠it∈N,t≠j12>∑ûaitû∑ûajtûRt(A),i∈N1,j∈N2},t∈Nt∈N21qJ(A)={i,j∈Nû(+i(A)-∑ûai
4、tûRt(A))(ûajjû-∑ûajtû)t∈N,t≠it∈N,t≠j12X1995年3月1日收到.1997年8月20日收到修改稿.—120—©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.=∑ûaitû∑ûajtûRt(A),i∈N1,j∈N2},t∈Nt∈N21J0(A)={i∈N1û∑ûaitû=0},t∈N2n×nn×nZ={(aij)∈Rûaij≤0,i≠j,i,j∈N}.N1(N2)为单点集时规定∑õ=0(∑õ=0).为书
5、写方便,以上诸符号未特别指明t∈N,t≠it∈N,t≠i12时,文中均以简记形式.如+i,Rt和J等均分别表示+i(A),Rt(A)和J(A).不失一般性,本文总假定所讨论的矩阵A=(aij)满足aii≠0且Ri>0,Pi∈N.n×n+定义 设A=(aij)∈C满足N2≠Á及(+i-∑ûaitûRt)(ûajjû-∑ûajtû)≥∑ûaitû∑ûajtûRt,Pi∈N1,j∈N2,(1)t∈N,t≠it∈N,t≠jt∈Nt∈N1221则称A为局部对角占优矩阵,记作A∈LD0;若(1)式中每一不等号均是严格的,则称
6、A为严格局部对角占优矩阵,记作A∈LD;若存在正对角阵X使AX∈LD,则称A为广义严格局部3对角占优矩阵,记作A∈LD.•+0+0+易见,当A∈LD0且J≠Á时,N1=N1∪N1,N2=N2∪N2;当A∈LD时,N1=N1,+N2=N2.2 主要结果先给出非奇H矩阵的一个必要条件.n×n++定理1设A=(aij)∈C为非奇H矩阵,满足N1≠Á且J0∩N1=Á,则存在(i,j),i∈N1,j∈N2使(+i-∑ûaitûRt)(ûajjû-∑ûajtû)>∑ûaitû∑ûajtûR.tt∈N,t≠it∈N,t≠jt∈
7、Nt∈N1221证明 若对任意(i,j),i∈N1,j∈N2,均有(+i-∑ûaitûRt)(ûajjû-∑ûajtû)≤∑ûaitû∑ûajtûR.t(2)t∈N,t≠it∈N,t≠jt∈Nt∈N1221++由于N1≠Á且N1∩J0=Á,则可以选取正数d0使之满足+i-∑ûaitûRt∑ûajtûRtt∈N,t≠it∈N11max≤d0≤min,++i∈N1∑ûaitûj∈N2ûajjû-∑ûajtût∈Nt∈N,t≠j22令X0=diag(xiûxi=Ri,i∈N1;xi=d0,i∈N2),记B=AX0=(b
8、ij),则容易验证B满足:33ûbiiû≤+i(B),Pi∈N.所以由[2,定理1]知B²D,进而有A²D.下面给出非奇H矩阵的等价条件和充分条件.n×n33定理2设A∈C,则A∈DZA∈LD.3证明 充分性由A∈LD,则存在正对角阵X使B=(bij)=AX∈LD,根据本文约定Ri(A)>0,则有Ri(B)>0且bii≠0,Pi∈N.设1Mi(B)=[+i(B)-∑ûbi
