矩阵秩与矩阵的等价标准形

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1、第二章矩阵理论基础§2.5矩阵分块法§2.3可逆矩阵§2.2n阶(方阵的)行列式§2.1矩阵的运算§2.4矩阵的秩与矩阵的等价标准形§2.6线性方程组解的存在性定理.CRAMER法则1主要内容：一、秩的定义；四、一些重要的性质二、秩的求法；§2.4矩阵的秩与矩阵的等价标准形三、矩阵的等价标准形2一、秩的定义例如等等,它们都是二阶子式.等等,它们都是三阶子式.每一个元素都是一阶子式.1、k阶子式：说明：1）在矩阵A中,任取k行k列,位于这些行列交点上的元素按原次序构成的k阶行列式,称为A的k阶子式.

2、2）3如果矩阵Ａ中有一个不为零的ｒ阶子式，且所有ｒ＋１阶的子式（如果存在的话）全等于零,称ｒ为A的秩,记为r(A)＝ｒ.例如2、矩阵的秩：规定:零矩阵的秩是零.4回答下面问题：(2)m×n的矩阵A,其秩最大可能是?r(A)≤min(m,n)(3)A有一个r阶子式不为零,其秩至少是?r(A)≥r(4)如果A有一个r阶子式不为零,且所有r+1阶都等于零,有没有r+2阶不为零的子式？如果A的所有r阶子式都等于零,A的秩最大可能是多少?(5)r(A)=r(AT)(6)A为n可逆矩阵的充要条件是r(A)=r

3、(A)=r(AT)n(7)A=O的充要条件是r(A)=0r-1(1)矩阵的秩是否惟一?当然惟一满秩矩阵（8）如果则：没有5初等变换不改变矩阵的秩。秩的基本定理二、秩的求法：即:则:例1.求下列矩阵的秩而解:而４阶子式不存在6秩的基本定理又可叙述为:r(PmAm×nQn)=r(A)(其中P，Q是可逆矩阵)注：该定理回答了矩阵标准形中r是唯一的。它就是矩阵A的秩。阶梯形矩阵的秩就是其非零行数！由以上例子说明:于是得到求秩的方法：则：7例1(P68例5)求矩阵A的秩建议只用行变换阶梯形不唯一8例2求和9

4、例1三.矩阵的等价标准形10用初等变换必能将任何一个矩阵化为如下等价标准形（也称相抵标准形）：等价标准形是唯一的。(等价标准形定理)定理3如果我们对矩阵11定理4(1)使得:(证明略)推论112三、秩的一些重要性质其中A为B为其中A和Ｂ均为13(P101例15)(P110习题27)14(７)的证明:只证阶梯形阶梯形考虑转置15永远是奇异矩阵有可能是非奇异矩阵例316(参见P71例8)证例4思考：17则(A)t=6时,必有r(P)=1(B)t=6时,必有r(P)=2(C)t≠6时,必有r(P)=1(

5、D)t≠6时,必有r(P)=2首先,又例518小结:矩阵秩的定义，矩阵秩的求法，矩阵的等价标准形，关于矩阵秩的一些结论．19作业:20