非奇H矩阵一组迭代判别法

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1、2015年月数值计算与计算机应用第卷第期非奇矩阵的一组迭代判别法张骁陆全徐仲崔静静西北工业大学应用数学系，西安摘要非奇矩阵作为一类特殊矩阵在科学和工程计算中有着重要的应用本文利用迭代系数构造正对角阵非奇矩阵的一组迭代判别法并证明了其充分必要性广和改进了近期，给出了，推的一些结果数值算例也说明了该组迭代判别法的有效性关键词：非奇矩阵迭代算法充要条件主题分类：，引言非奇矩阵在计算数学、系统理论、数学物理等众多领域有着重要的研究价值和实用一一】因此在实际应用中如何有效地判别价值个矩阵是否为非奇矩阵，直是人们关注的一些迭代算法问题近年来，国内外学者提出了，借助计算机来判别非奇矩阵

2、文献于年给出了判别非奇矩阵的迭代算法，并证明了其充分必要性文献在文献中算法的基础上，给出了判别稀疏非奇矩阵的高效算法，通过；文献构造特殊的参数减小文献中算法的压缩因子使得判别所需的迭代次数减少文献针对不可约非奇矩阵一组交替迭代判别法本文通过构造迭代系数而和交替迭代的方法一，给出了，进一证明了算法的充分必要性步减小了压缩因子，得到了组判别非奇矩阵的迭代判别法，，并数值算例也表明本文中迭代判别法的迭代速度较文献和文献明显提高年月日收到基金项目：国家自然科学基金（资助项目数值计算与计算机应用年用表示阶复…（实）矩阵的集合设，，，记“定义设若恥，记为丨则称为严格对角占优矩阵义如果

3、存在正对阵使得则称为广义严格对角占优矩阵（也称为非奇巧矩阵岡’记为定义设义并设〈〉其中，，名称〈〉为的比较矩阵非奇矩阵具有置换不变性，即设是非奇矩阵，是阶置换矩阵，则￡本文用到以下引理引理设叫）则且对角元理设义勿）且“又设则芝的充要条件是义的主子矩阵义由引理知存在使得对角元则义，若或又由引理知，当某个尾时，判别是否为非奇矩阵可转化为对的主子矩阵的判别因此本，文总假设且规定：主要结果⑷……记设々），，，气一，’；巧⑷，，…，，，）⑷）丨“■，，⑷）㈨二…《，’，，’丨一组迭代判别法1期张骁等非奇矩阵的’算法非奇矩阵的有限次迭代算法）给定矩阵和①若或存在使得叫。。则停止否则转

4、②②取义义，③计算々④若，则义，停止否则，转⑤一￡⑤增大的下标当存在时，取⑥计算，，，其中⑷，⑷。㈨，，⑷存在，使得、这里为充分小的正数，⑦取转③算法以下面的定理为基础定理设义㈨炉如算法定义则⑷…对于和，，，有和算法或在有限步迭代后停止一，或得到个无限相异的矩阵序列使得对丸都有丨々存在—当算法产生无限相异的矩阵序列时，有⑷￥的充要条件是算法在有限步迭代后停止并得到非奇矩阵证明首先⑷，考虑迭代系数由的表达式知，且有尺⑷■⑷，因此⑷达式和式⑴可得⑷⑷由巧）的表⑷⑷，从而因此⑷⑷），卢㈨⑻化只62数值计算与计算机应用年⑷故切假设时有上则当时，由旧七￡⑷￡⑷），）⑷）可得知’从而

5、故由数学归纳法，对于，，有⑷忍，歡，其次压缩因子的取值范围当，考虑⑷’於⑷）时，对于有圯濟）￡、。，⑷⑷即义，从而因此㈦故仏由〉可得—、心一，又由知⑻￡”“■⑷⑷⑷泛故、；当存在使得时，，⑷，卢⑷可取充分小的正数，使得一假设算法未在有限步迭代后停止，则产生个矩阵序列对于期张骁等非奇矩阵的一组迭代判别法，由和可得，响丨⑷）’旧丨鬥離’力⑴⑵可见…）），故存在最小的正整数使得，，）于是对，有：。￡，°由于利用上式可知，丨对任意￡是非增有界序列故丨存在又由知是无限相异的—⑷〉知，由十和对于丨卜心卜離《卜旧一㈦離’丨”丨旧丨心丨，义又由知和讯均收敛，且⑷〉心卜離’’’⑷于是凡严格

6、递减，且⑷…，，，—⑷下面用反证法证明—尽假设存在—使得艮。，注意到《，则存在，。…，使得’于是有。，当：时，由算法第⑥步和式（，式⑷可得，卢《足。⑷〈。，。丨心。当存在使得乙时可以取⑷尾。。。，丨64数值计算与计算机应用年由式⑵可得。因此总有￡〉…。。丨《，。当⑷—时有购丨得到矛盾故丨七尽￥充分性假设存在某个正整数使得。）即则可见存在正对角矩阵力使得义从而必要性已知假设算法未在有限步迭代后停止则产生无限矩阵序列°由知，存在正整数使得由非奇矩阵的置换不变性，假设。。作…■■，）），注意到▲。〈〉〈〉〈〉，这里。是正对角矩阵并且，。。卄…。……、，’’’”’，’其中…由可知

7、，，存在所以—存在设—㈨〉其中，，则有注意到由⑷《—尽可知—一方面由义知可见，故《另，即存在正对角矩阵使得，广仍是正对角矩阵从而，矛盾故算法在有限步迭代后停止并得到非奇矩阵证毕注⑷由式⑶和式⑷可知，当—）时，有⑷圯，）私￡⑷：，1期张骁等非奇矩阵的一组迭代判别法故本文算法中构造的压缩因子较文献中的么更小因此判别所需的迭代次数较少⑴于是对有对，若：丨则⑴’￡卢，此时若利用算法判别一，第⑤步的递推计算不能进步减小迭代系数在一定程度上增加了计算量，下面针对此情形给出需要较少计算量的交替迭算法算法非奇矩阵的交替迭代算法）给定矩阵）和〉