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《矩阵计算与分析-幂迭代法和逆幂迭代法.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、4.3幂迭代法和逆幂迭代法4.3幂迭代法和逆幂迭代法4.3.1幂迭代法在实际问题中，具体要求也有不同．某些应用场合通常不需要知道矩阵的全部特征值和特征向量，而仅要求得到矩阵的按模最大的特征值（或称为矩阵的主特征值）和相应的特征向量，如线性方程组迭代解法的收敛性问题．有的则要求全部特征值和特征向量．根据这2种不同要求，矩阵的特征值和特征向量的计算方法也大体上分成2种类型．本章就此2种类型介绍其中最常用的2种方法⎯幂法和QR法．幂法主要用于求矩阵的按模最大的特征值和相应的特征向量．它是通过迭代产生向量序列，由此计算特征值和特征向量．其算法的思想基于如下结论：定理1设矩阵A∈Rn
2、×n有n个线性无关的特征向量x(i=1,i2,…,n)，其对应的特征值λ(i=1,2,…,n)满足i
3、λ
4、>
5、λ
6、≥
7、λ
8、≥…≥
9、λ
10、(1)123n对任意的非零向量v∈Rn，用A构造向量序列0v=Avk=0,1,2,…(2)k+1k则有(v)kilim=λi=,2,1",n)3(1k→∞(v)k−1i式中，(v)表示向量v的第i个分量．kik证明因为A有n个线性无关的特征向量xi(i=1,2,…,n)，所以对任意的非零向量v都可用x(i=1,2,…,n)线性表示，即0iv0=α1x1+α2x2+"+αnxn假定α1≠0⎧v1=Av0⎪v=Av=A2v210用A构造向量序列⎪
11、⎨#⎪v=Av=Akvkk−10⎪⎩#kk∵Axi=λixi⇒Axi=λixii=,2,1",nkkkk∴v=Av=αAx+αAx+"+αAxk01122nnkkk=α1λ1x1+α2λ2x2+"+αnλnxnknk⎛λi⎞=λ(αx+α⎜⎟x))4(111∑iii=2⎝λ1⎠k−1nk−1⎛λi⎞同理v=λ(αx+α⎜⎟x)k−1111∑iii=2⎝λ1⎠λi由于<(1i=,3,2",n,)故对足够大的k,有λ1kk−1v=λ(αx+ε)v=λ(αx+ε))5(k111kk−1111k−1n式中εk−1,εk∈R,且当k→∞时,εk−1,εk→.0当(x1)i≠0时有(v
12、k)iα1(x1)i+(εk)ilim=λ1lim=λ1k→∞(vk−1)ik→∞α1(x1)i+(εk−1)i这种由已知非零向量v及矩阵的乘幂Ak构造向量序列{v}0k以计算A的按模最大的特征值λ的方法称为乘幂法，简称为幂1法．而定理的证明过程事实上已给出了幂法的实施步骤．A1)任取的非零向量v应使α≠0，通常可取v=(1,1,…,1)T．如010果初始向量v选择不当，以致使α=0，上述结果理论不成立,01但由于计算中的舍入误差，经过若干步以后，可有kvk=Av0=b1x1+b2x2+"+bnxn其中b≠0，但由于bx一项是由舍入误差得到，
13、b
14、较小，而1111v的第一项
15、本在(4)式右端各项中占优势,因此迭代收敛很慢,有k时，选择的v虽没有使α=0，但α很小，接近于零时，迭代收011敛也会很慢．具体计算时，如果发现收敛很慢，不妨另取初始向量v再算，或者在计算方案中一开始就选择几个不同的v来00进行试算．2)由于v=Av，而v≈λv，故有Av≈λv，所以，v可以k+1kk+11kk1kk作为与λ相应的特征向量的近似．13)定理的结论式(3)是假定按模最大的特征值是单个的．若
16、λ
17、1>
18、λ
19、的要求不能满足时，应视下列不同情形具体分析：2(1)当λ=λ=…=λ(即按模最大的特征值是实r重的)时，且12r
20、λ
21、>
22、λ
23、≥…≥
24、λ
25、则仿定理的证明，对
26、任意初始向量1r+1nnv0=∑αixi(且α1,",αr不全为零)i=1rnkkk⎛λi⎞则由幂法有vk=Av0=λ1(∑αixi+∑αi⎜⎟xi)i=1i=r+1⎝λ1⎠rk=λ1(∑αixi+εk)i=1r(vk)ivk⇒→λ1(k→∞)且有limk=∑αixi(vk−1)ik→∞λ1i=1所以，v可以作为与λ相应的特征向量的近似．k1(2)
27、λ
28、=
29、λ
30、，但λ=−λ时，且
31、λ
32、>
33、λ
34、≥…≥
35、λ
36、则对任意初121213n始向量v0=α1x1+α2x2+"+αnxn假定α1≠,0α2≠0kkk则由幂法有vk=Av0=λ1(α1x1+(−)1α2x2+εk)k+1k+1
37、vk+1=λ1(α1x1+(−)1α2x2+εk+1)k+2k+2vk+2=λ1(α1x1+(−)1α2x2+εk+2)(vk+2)i2(vk+1)i2⇒→λ1(k→∞)或→λ1(k→∞)(vk)i(vk−1)i可证明对应于λ的A的近似特征向量为v+λv，对应于λ的1k+11k2为v−λv．k+11k(3)
38、λ
39、=
40、λ
41、，但λ=ρeiθ，λ=ρe−iθ，即λ,λ为一对共轭复特121212征值，且
42、λ
43、>
44、λ
45、≥…≥
46、λ
47、，则对任意初始向量13nv0=α1x1+α2x2+"+αnxn假定α1≠,0α2≠0kk当k充分
