为不可约矩阵(PPT课件).ppt

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1、6.3.2关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性定义3(1)如果的元素满足称为严格对角占优阵.(2)如果的元素满足且上式至少有一个不等式严格成立，称为弱对角占优阵.(对角占优阵)设1定义4设,如果存在置换阵使（3.6）其中为阶方阵，为阶方阵，为可约矩阵.否则，如果不存在这样置换阵使(3.6)式成立，则称为不可约矩阵.(可约与不可约矩阵)则称为可约矩阵意即可经过若干行列重排化为(3.6)或2可化为两个低阶方程组求解.如果经过两行交换的同时进行相应两列的交换，称对进行一次行列重排.事实上，由可化为且记于是，求解化为求解其中为维向量.3由上式第2个方程组求出,显然，如果

2、所有元素都非零，则为不可约阵.再代入第1个方程组求出4例7则都是不可约矩阵.设有矩阵5定理6如果为严格对角占优矩阵或为不可约弱对角占优矩阵，则为非奇异矩阵.证明只就为严格对角占优阵证明此定理.采用反证法，如果，则有非零解，记为,由齐次方程组第个方程则有(对角占优定理)则6即与假设矛盾，故7定理7设,(1)为严格对角占优阵，则解的雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法均收敛.(2)为弱对角占优阵，且为不可约矩阵，则解雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法均收敛.证明如果：只证(1)中高斯-塞德尔迭代法收敛，其他同理.由设可知，，解的高斯-塞德尔迭代法的迭代矩阵为8下面考

3、查的特征值情况.由于,于是特征值即为之根.记9下面证明，当时，，即的特征值均满足，事实上，当时，由为严格对角占优阵，这说明，当时，矩阵为严格对角占优阵，再由对角占优定理有由基本定理，则有高斯-塞德尔迭代法收敛.有10证明有，设的特征值为，定理8或另一方面(SOR方法收敛的必要条件)设解方程组的SOR迭代法收敛，则由SOR迭代法收敛，则由定理4的推论中的(3)则11从而即定理8说明解的SOR迭代法，只有在范围内取松弛因子，才可能收敛.定理9设，(1)为对称正定矩阵，则解的SOR迭代法收敛.如果：12证明在上述假定下，只需证明，其中为的任一特征值.事实上，设为对

4、应的的特征向量，亦即即为了找出的表达式，考虑数量积13则显然记由于，所以,（3.7）故（3.8）14所以从而当时，利用(3.7)，(3.8)，有当时，即的任一特征值满足，故SOR方法收敛可以证明15定理10设，(1)为严格对角占优矩阵(或为弱对角占优不可约矩阵)；如果：则解的SOR迭代法收敛.下面讨论迭代法的收敛速度.由定理3证明中可知，如果且越小时，迭代法收敛越快.16及一阶定常迭代法（3.9）且设迭代法收敛，记，现设有方程组则由基本定理有,且误差向量满足故17设为对称矩阵，则有欲使取对数，得到所需最少迭代次数为（3.10）这说明，所需迭代次数与成反比

5、.越小，越大，由(3.10)式所需迭代次数越少，即迭代法收敛越快.18对于SOR迭代法希望选择松弛因子使迭代过程(2.10)收敛较快，定义5称为迭代法(3.9)的渐近收敛在理论上即确定使对某些特殊类型的矩阵，已建立了SOR方法最佳松弛因子理论.例如，对所谓具有“性质”等条件的线性方程组建立了最佳松弛因子公式速度，简称迭代法收敛速度.19其中为解的雅可比迭代法的迭代矩阵的谱半径.在实际应用中，对于某些椭圆型微分方程(模型问题)，可以给出的计算方法，但一般来说，计算是有困难的，可用试算的办法来确定一个适当的.算法2设，其中为对称正定(SOR迭代法)矩阵或为严格对

6、角占优阵或为弱对角占优不可约矩阵等，20本算法用SOR迭代法求解，数组存放及，用控制迭代终止，用表示最大迭代次数.21也可用来控制迭代终止，其中226.4分块迭代法23上述迭代法，从计算时，是逐个计算的分量，这种迭代法又称为点迭代法.分块迭代法，就是一块或一组未知数同时被改进.设，其中为大型稀疏矩阵且将分块为三部分，其中24且为非奇异矩阵，对及同样分块其中，25(1)块雅可比迭代法(BJ)选取分裂阵为的对角块部分，即选于是，得到块雅可比迭代法（4.1）其中迭代矩阵或26由分块矩阵乘法，得到块雅可比迭代法的具体形式（4.1）其中这说明，块雅可比迭代法

7、每迭代一步，从，需要求解个低阶方程组27(2)块SOR迭代法(BSOR)选取分裂矩阵为带松弛因子的块下三角部分，得到块SOR迭代法（4.3）即28其中迭代矩阵由分块矩阵乘法得到块SOR迭代法的具体形式（4.4）29于是，当及已计算时，解低阶方程组(3.14)可计算小块从共需要解个低阶方程组，当为三对角阵或带状矩阵时，可用直接法求解.定理11设，其中(分块形式).(1)如果为对称正定矩阵，则解的BSOR迭代法收敛.(2)30