向量优化问题的Geoffrion有效解与向量变分不等式.pdf

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1、第20卷第2期广东工业大学学报VoI.20No.22003年6月JournalofGuangdongUniversityofTechnologyJune2003向量优化问题的Geoffrion有效解与向量变分不等式刘伟1，蔡前凤1，温珍光2（1.广东工业大学应用数学系，广东广州510090；2.江西省信丰铁石口中学，江西信丰341600）摘要：利用Jaln与Raul提出的集值映射的切上导数概念，解决了以向量变分不等式的形式给出向量集值优化问题的Geoffrion有效解的充分必要条件.关键词：集值映射优化；切上导数；Geoffrion有效解中图分类号：0224文献标识码：A文

2、章编号：1007-716（22003）02-0090-031背景在文献［1］中，Yang提出了一个有趣的问题，在有限维空间中能否以向量变分不等式的形式给出向量集值优化问题的Geoffrion有效解的充分必要条件？本文通过Jaln与Raul在文献［2］引进的集值映射的切上导数概念，解决文献［1］中提出的有趣问题.2定义与定理在本文中，我们总设X，Y为实赋范性空间，Y是Y的共轭空间，C是Y的闭凸点锥，Y的偏序由C导出.C的共轭锥定义为C：=｛fY：（fy）0，yC｝.C的拟内部记为C#，其中C#：=｛fY：（fy）>0，yC｛0｝｝.用con（eA）表示集合A生成的锥，即co

3、n（eA）：=｛!A：!0｝.c（IA）表示A的闭包，in（tA）表示A的内部.C的凸子集B称为是C的基，若C=con（eB）且0c（IB）.本文中总用U表示Y中的闭单位球.设B为C的基，令"：=inf｛J：JB｝.则显然">0.0<#<"，记C（B）：=con（eB+#U）.#由文献［6］知C有基的充分必要条件是C#0.还可知，当C有基B时，c（IintC#（B））是闭凸点锥，且C｛0｝intC（B），0<#<".#本文总设S是X的非空子集，F：S2Y是集值映射.集合收稿日期：2002-06-13作者简介：刘伟（1970-），男，硕士，讲师，主要研究方向为运筹与最优化.

4、第2期刘伟，等：向量优化问题的Geoffrion有效解与向量变分不等式91grap（hF）：=｛（x，y）eSXY：YeF（x）｝，称为是F的图.集合ep（iF）：=｛（x，y）eSXY：yeF（x）+C｝，称为是F的上图.设（x1，y1）egrap（hF），定义F的上图在点对（x1，y1）处的切锥为T（ep（iF），（x1，y1））：｛（x，y）｝eXXY：存在｛x｝CS，yF（x）+C，以及正数列｛I｝，IICII使得lim（x，y）=（x1，y1）且III～limI（x，y）-（x1，y1））=（x，y）｝.IIII～用T（ep（iF），（x1，y1））表示集合T（e

5、p（iF），（x1，y1））在X上的投影.x设x111）给定，单值映射DF（x1，y1）：T（ep（iF），（x1，y1））CX～Y，它的上eS，yeF（xx图等于F的上图在点对（x1，y1）处的切锥，即ep（iDF（x1，y1））=T（ep（iF），（x1，y1）），称为是F在（x1，y1）的切上导数.由定义可知，若y=DF（x1，y1）（x），则（x，y）eep（iDF（x1，y1））=T（ep（iF），（x1，y1）），于是，存在｛（xI，yI）｝Cep（iF），以及正数列｛II｝，使（x1，y1）=lim（x，y）且（x，y）=lim（x1，y1）.IIIII-xI

6、-yI～I～若S为X的凸子集，集值映射F：S～2Y称为是C-凸的，若Vx1，y1eS，VIe［0，1］有IF（x1）+（1-I）F（x2）CF（Ix1-（1-I）x2）+C.我们考虑向量集值优化问题：min｛F（x）：xeS｝.（1）令F（S）=U｛F（x）：xeS｝.定义1如果点对（x1，y1）满足（F（S）-y1）n-C=｛0｝，则称（x1，y1）为问题（1）的有效点对，并称x1为问题（1）的有效解.定义2在问题（1）中，设X=RI，Y=Rm，F：SCX～Y，C=Rm，F（x）=（F（x），⋯，+1Fm（x））.若x0是问题（1）的有效解，并且存在实数M>0，使对于每一

7、个（ii=1，⋯，m）和xeX，满足F（ix）F（x0）的（=1，⋯，m，一i），有F（ix0）-F（ix）M，F（x0）-F（x）＜称x0为问题（1）的Geoffrion有效解.设x111），并设DF（x1，y1）存在.eS，yeF（x我们把求x111）使eS，yeF（x1，y1）（x-x1）奏-K，VxeS，（2）DF（x称为是向量变分不等式问题，记为（VVIP）.这里KU｛0｝是点凸锥.定义3称点对（x1，y1）为（VVIP）的锥超有效解对（或称x1为（VVIP）的锥