合集-空间向量解立体问题21篇.pdf

《合集-空间向量解立体问题21篇.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、U考点专题5向量在立体几何中占有重要的地位，且扮演着例2在正四棱柱佃CD—AlBlClD1中，底面一个非常重要的角色，其应用打破了立体几何的传边长为2，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的统解法，可以减少大量的辅助作图以及对图形的分中点，求证：平面BIEF上平面BDD1B1．析、想象过程，能直接使用代数运算来解决立体几何证明：建立如图2所中的计算和证明问题．本文分类例析，供读者参考．示的空间直角坐标系，则一、利用向量处理垂直问题空问的线线、线o(o，0，0)，B(24-2，2√2，面、面面垂直关系，

2、都可以转化为空间内两个向量的0)，E(2√2，√2，0)，F(√2，垂直问题来解决．242，0)，D1(0，0，4)，1．证明直线与直线垂直可以转化为证明这两条B，(2，2，4)，蕾：直线的方向向量垂直．(一，，o)，菌=(2，2．证明直线与平面垂直可以转化为证明直线的2，0)，：(o，0，4)，图2方向向量与平面的法向量平行或证明直线的方向向‘．量垂直于平面内的两个不共线向量．．EF·DB=0，EF·DDl=0，．‘．EF上DB，EF_irDDl，·3．证明平面与平面垂直可以转化为证明这两个．．EF

3、上平面BDDlBl，故平面B1EF上平面平面的法向量垂直或证明其中的一个平面与另一个BDD1B1．平面的法向量共面(平行)．二、利用向量处理平行问题例1在直三棱柱仙c一』4lB1cl中，AC=3，1．证明直线与平面平行的常用方法有三种：一BC=4，AB：5，AAI=4．是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线(I)求证：ACJ_BC1；(平行)向量；二是证明直线的方向向量与平面的两个(Ⅱ)在AB上是否存在点D，使得AC上CD?非共线向量是共面向量，即利用共面向量定理证明；解析：由题易知，AC、三是

4、证明直线的方向向量与该平面的法向量垂直．BC、C，C两两垂直，如图2．证明平面与平面平行可以转化为证明两个平1所示，以c为原点，直面的法向量平行或转化为证明其中的一个平面与另线CA、CB、CC．分别为一个平面的法向量垂直．轴、Y轴、z轴建立空间直例3在直三棱柱角坐标系，则c(o，0，0)，佃C—A1日lCl中，AC上A(3，0，0)，C(0，0，4)，BC，D为AB的中点，AC8(0，4，0)，B(0，4，4)．图1=BC=BB1．(I)求证：(I)·．·：(一3，0，o)，：(0，一4，4)，BCl

5、上Al；(Ⅱ)求证：BC1一··∥平面G4D．．．BCt=0，o'oAC~BC1．证明：由于AlC】、(Ⅱ)假设在A曰上存在点D，使得cl_LCD，则一AD：A—AB=(一32B1C1、ClC两两垂直，如，42，0)，其中0≤≤1，则D(3—32，42，0)'__．一CD：(3—3图3所示，以C为原点，，42，0)．又：(一3，0，ClAl、ClB1、ClC所在直图34)．由．：0，即一9+92：0．：1，故在加线分别为轴、Y轴、z轴建立空间直角坐标系．设上存在点JD，能使Ac，J_cD，此时D点与B

6、点重合．考点专1-6AC=BC：BB1：2，贝0A(2，0，2)，8(0，2，2)，c(o，0，以0为原点，2)，AI(2，0，0)，Bl(0，2，0)，Cl(0，0，0)，D(1，1，2)．OB、OC、OA所在直线(I)·略．·j；’-分别为轴、Y轴、：．(1I)方法1取的中点E，连结胞，则轴建立如图5所示的，(1，0，1)’_．．：(0，1，1)．又：(0，一2，一2)．空间直角坐标系，则一ED：一{．·．·ED和BCl不共线．eo／／曰c1．(O，O，1)，B(2，0，O)，C(0，2，0)．设

7、平面M1C·‘．DEc平面CAlD，BC1平面CAlD，故船t∥平的一个法向量为，l=图5面CAlD．(，，。)，由，l上知，，l·一AB：2—：0．同理，l·方法2：由：(2，0，一2)，。：(1，1，o)．设一AC：2)，一：0．所以可取：(1，1，2)，故点0到平=y，则2+Y=0，Y=一2，一2=面脚的距离d：了4-6一2，解之，得：1，，，：一2i即：一CAI一2，．_．。、、是共面向量，故BC∥平面CA，D．方法3：设n：(，Y，=)是平面CAD的法向量，贝0有n．一CAj：0，，1．：0

8、，即2一2=：o，+Y=0，取=1，得n：(1，-1，1)．~oO·：0．_上_J1．又曰cI平面CAlD．∥平面CAlD．例4在例1中，在AB上是否存在点D，使得薰是正c1侧方到解棱形平析，面C_C．：。AA·B的．‘lBD中AB的点BA距1B，A求离l是点．圜IlIi。．／．’'／；：×＼．．、．、I。ACI／／zIz~ICDB17．1J'】，易B————。—解析：假设在上存在点D，使得AG。∥平面CDB1，则：=(一32，4A，0)，其中0≤≤l，