Minty向量似变分不等式与非光滑向量优化问题.pdf

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1、第36卷第1期湘潭大学自然科学学报Vo1．36NO．12014年3月NaturalScienceJournalofXiangtanUniversityMar．2014Minty向量似变分不等式与非光滑向量优化问题文乾英，焦建军(贵州财经大学数学与统计学院，贵州贵阳550004)[摘要]在Clarke次微分意义下讨论伪不变凸性和不变伪单调性在Minty向量似变分不等式中的应用，建立了Minty向量似变分不等式和非光滑向量优化问题之间的关系．关键词：Minty向量似变分不等式；非光滑向量优化问题；伪不变凸性；不变伪单调性中图分类号：O22文献标识码：A文章编号：10

2、00—5900(2014)O1—0021一O5MintyVectorVariational_-LikeInequalityandNon‘-SmoothVectorOptimizationProblemsWENQian—ying。JiA0Jian—ju．(SchoolofMathematicsandStatistics-GuizhouUniversityofFinanceandEconnomics，Guiyang550004China)[Abstract]Inthispaperwediscusstheapplicationsofpseudoinvexityandi

3、nvariantpseudomonotonicityinMintyvectorvariational—likeinequalityunderconditionsofClarkesubdifferentiable。somerelationsbetweenaMintyvectorvariational-likeinequalityandanon-smoothvectoroptimizationproblemareestablished．Keywords：Mintyvectorvariational_likeinequality；non-smoothvectoropt

4、imizationproblems：pseudoin—vexity；invariantpseudomonotonicity向量变分不等式是讨论向量优化问题的有用工具，因此向量变分不等式已经被许多学者进行了广泛而深入的研究．特别地，GiannessiF在凸性和单调性的假设下建立了Minty向量变分不等式和向量优化问题的有效解或弱有效解之间的关系；杨新民在伪凸性和伪单调性的假设条件之下给出了Minty向量变分不等式和向量优化问题的有效解以及Minty弱向量变分不等式和向量优化问题的弱有效解之间的关系，推广了GiannessiF所建立的结论[6]．而在E12]中王庆东

5、等又把1-10-]的结果推广到了不变凸集上．在[7，8]中GiannessiF和LeeGM证明了Minty向量变分不等式，Stampacchia向量变分不等式与多值不可微凸向量优化问题之间的等价关系．在1-9-]中AnsariQH和YaoJC证明了Min—ty向量似变分不等式，Stampacchia向量似变分不等式与叩一次可微函数，不可微非凸向量优化问题之间的等价关系．本文将做进一步的推广，即在[-13中所给Clarke次微分意义下讨论[3]中提出的伪不变凸性和不变伪单调性在Minty向量变分似不等式中的应用，得出了Minty向量变分似不等式和向量优化问题的有效

6、解以及Minty弱向量变分似不等式和向量优化问题的弱有效解之间的关系．1预备知识X是的一个非空开子集，丁：x一2是一个集值映射，：X×X一是一个向量函数，：x—R是一个不可微的实值函数．文中所需的概念，如广义方向导数、Clarke次微分、预拟不变凸函数、半严格预拟不变凸函数、伪不变凸函数、不变伪单调映射可参见[1-3]．条件A：设X为关于，7的不变凸集，，：X—R，若VX，Y∈X，厂()

7、961008)通信作者：焦建军(1973一)，男，湖南邵阳人，博士，教授．E-mail：527336487@qq．corn．湘潭大学自然科学学报r／(y，+(z，))一一幻(z，)，7／(x，y+(z，))一(1一)'7(z，)．在[4]中YangXM等证明了如下结论：如果X为关于'7的不变凸集，，可微且关于相同的为伪不变凸函数，叩满足条件C，且V，∈X，，()≤厂(z)(．y+rl(x，))≤厂()，则f关于相同的为预拟不变凸函数．我们推广这个结论：假设，是局部Lipschitz连续的，可得如下的引理1．引理1设X为关于叩的不变凸集，，：x—R在X上是局部Li

8、pschitz连续的伪不