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1、用基向量解棱锥问题扁9移口刘瑞美关键词基向量棱锥棱锥一向是空间几何命题的热点,下面就以棱锥为例来说明非坐标形式法在羁中的应用.由于所研究的向量是自由向量,所以可以选取任意三个不共面的向量作为空间基向量,只要它们的长度和向量之间的夹角已知或可以求出,根据空间向量基本定理,就可以作为空间的一组基向量,其他向量用它们线性表示出来就可以了.基向量的选取应以计算求解方便为原则,一般选择两向量之间的夹角是特殊角,或者虽不是特殊角但容易求出.例1如图l,在三棱锥P—ABC中,PA上底面ABC,PA—AB,ABC一60.,B[1A一90.,点D,E分别在棱PB,P
2、ic上,且DE//BC,C图1(I)求证:BC上平面C;(1I)当D为PB的中点时,求AD与平面难度系数:0.45PAC所成的角的大小;(Ⅲ)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角?并说明理由.分析:要证明直线BC上平面PAC,只要证平面PAC的法向量与向量葡共线即可;第二问,只要先求出向量与平面PAC的法向量的夹角,再根据直线与平面所成角的定义求出即可;第三问,首先根据两平面的法向量垂直时,求出满足的条件,再利用公式求出是否存在满足的E点.解:由于PA上底面ABc,所以选取,,为空间的一组基向量.(I)'.'一一,设一++为平面PAC的法向
3、量,则I—n.:0.In.一0'由于PA=AB,LABC=60.,LBCA一9O..故可设BC—m,则PA=AB===2m,AC=/gm,...～,～,【Y+=0lY=一.?.一一+,取—l,...7z一一AB+AC,取—l,.?.一n一一+,由空间向量基本定理?.....◇寄移易知向量与向量共线.BC上平面PAC.(Ⅱ)设直线AD与平面PAC所成角为0,'..一一=百1+1,....一(+丢).(～+)一一譬,而IA--~t一√(1A十1A2一m,frtI—m,.?.sin一ll一,因而当?'.S瑚一I面I一'因而当D为PB的中点时,直线AD与平
4、面PAC所成的角为arcsin华.(Il1)...二面角A—DE—P为直二面角,.'.作PF-lIDE于F点,连结AF,则AF上DE,即PF_l_AF.由于霄一亩+一+茚且DE/IBC,...翼一翼一窗一z,茹一z一一面一比一z'一z商.即霄一+z商一～+(1一)+,又一霄+一(卜)+z(1--,D+霄上,霄上魔,_l-谤,rP---~.0...J帝.磕一o:一4+一+积一0l.魂一o爿f一1J4,Iz一所以点F和点E重合,因而存在点E使q夏◇魔一,II]PE:4Pc,使得二面角A,,一DE—P为直二面角,此时由题意易知AE上PC.点评:本题主要考
5、查空间位置关系和空间角与距离问题求法,注意基向量的选取,以及空间向量的线性运算和数量积运算等,利用基向量法还可以求出点E在PC上的位置.例2如图2,在四棱锥P—ABCD中,侧面PAD上底面ABCD,侧棱PA—PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BC//AD,ABj_AD,AD===2AB===2BC一2,0为AD中点.图2(工)求证:P0上平面ABCD;(1I)求异面直线PB与CD所成角的大小;(Ⅲ)线段AD上是否存在点Q,使得它到:~PCD的距离为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.分析:用基向量法证明P0上平面AB-CD,只要证P0与平面
6、ABCD的法向量共线;要求异面直线PB与CD所成角,只要商求出两向量商和亩的夹角,再根据两异面直线所成角定义求出就可以了;求Q点,只要根据共线向量及法向量的有关运算求出即可.解:取,,为空间的一组基向量,(I)设—z++z茄为平面ABCD的法向量,._ll:r.一0f—n.(2.o--~)一0则.:01.(一)一0f2z=0.=>z—y:z:O,I+y=O.?.—z.o-P,取z一1,..n—o-P与共线,...上平面ABCD,.'PO上平面ABCD.(II)商一一一一一,一一,由题易知CD=,PB一,.?.商.=(一一).(一)一一2,.?
7、.I商1.IJcos<商,亩>一一2,cos<商,>一一2,..?异面直线PB与CD所成的角是arccos3.(III)假设存在点Q,使得它到平面PCD的距离为,设一++z为平面PCD的法向量,.一Pb=0(一0/3一)一0f?f?一0_p)一0则气.一0.(一):oz:=:'.?.一n—声++,取一1,:++,1一nf一,由题知一一2茄>0),而.;.一2.z一2,...一:22一一.III一4'所以存在点Q满足题意,此时一号.点评:本小题主要考查直线与平面的位置关系,异面直线所成角,点到平面的距离等基本知识.从上面
8、例子可以清楚的看出,基向量法才是真正意义上的通性通法,而坐标形式的向量法实际上是基向量法简化形式.特别是如果遇到一些不好建
