2015届高考调研文科课时作业64.doc

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1、课时作业(六十四)1．已知实数x，y满足－＝1(a>0，b>0)，则下列不等式中恒成立的是(　　)A．

2、y

3、－

4、x

5、C．

6、y

7、>－xD．y<

8、x

9、答案　D解析　实数x，y满足－＝1(a>0，b>0)，其图像为双曲线，当x>0时，y

10、x

11、，也有y<

12、x

13、，故选D.2．设a>0为常数，动点M(x，y)(y≠0)分别与两定点F1(－a,0)，F2(a,0)的连线的斜率之积为定值λ，若点M的轨迹是离心率为的双曲线，则λ的值为(　　)A．2B．－2C．3D．答案　A解析　轨迹方程为·＝λ，整理得－＝1(λ>

14、0)，c2＝a2(1＋λ)，1＋λ＝＝3，λ＝2，故选A.3．如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)长轴长为4，离心率为.过点(0，－2)的直线l交椭圆于A，B两点、交x轴于P点，点A关于x轴的对称点为C，直线BC交x轴于Q点．(1)求椭圆方程；(2)探究：

15、OP

16、·

17、OQ

18、是否为常数？答案　(1)＋＝1　(2)

19、OP

20、·

21、OQ

22、为常数4解析　(1)由题意得解得a＝2，b＝，c＝1，所以椭圆方程为＋＝1.(2)直线l方程为y＝kx－2，则P的坐标为(，0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(x1，－y1)，直线BC方程为＝，令y＝0，得

23、Q的横坐标为x＝＝.①由得(3＋4k2)x2－16kx＋4＝0.得代入①得x＝＝＝2k，得

24、OP

25、·

26、OQ

27、＝

28、xP·xQ

29、＝·2k＝4.∴

30、OP

31、·

32、OQ

33、为常数4.4．已知点B(－1,0)，C(1,0)，P是平面上一动点，且满足

34、

35、·

36、

37、＝·.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)已知点A(m,2)在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD⊥AE，判断：直线DE是否过定点？试证明你的结论．答案　(1)y2＝4x　(2)直线DE过定点(5，－2)解析　(1)设P(x，y)，代入

38、

39、·

40、

41、＝·，得＝1＋x，化简得y2＝4x.(2)将A(

42、m,2)代入y2＝4x，得m＝1.∴点A的坐标为(1,2)．设直线DE的方程为x＝my＋t代入y2＝4x，得y2－4my－4t＝0.设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1·y2＝－4t，Δ＝(－4m)2＋16t>0.(*)∴·＝(x1－1)(x2－1)＋(y1－2)(y2－2)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1·y2－2(y1＋y2)＋4＝·－(＋)＋y1·y2－2(y1＋y2)＋5＝－＋y1y2－2(y1＋y2)＋5＝－＋(－4t)－2(4m)＋5＝0.化简t2－6t＋5＝4m2＋8m，即t2－6t＋9＝4m2＋8

43、m＋4，即(t－3)2＝4(m＋1)2，∴t－3＝±2(m＋1)．∴t＝2m＋5或t＝－2m＋1，代入(*)式检验均满足Δ>0.∴直线DE的方程为x＝m(y＋2)＋5或x＝m(y－2)＋1.∴直线DE过定点(5，－2)．(定点(1,2)不满足题意)5．(2012·福建)如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上．(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q，证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．答案　(1)x2＝4y　(2)以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(

44、0,1)解析　(1)依题意，

45、OB

46、＝8，∠BOy＝30°.设B(x，y)，则x＝

47、OB

48、sin30°＝4，y＝

49、OB

50、cos30°＝12.因为点B(4，12)在抛物线x2＝2py上，所以(4)2＝2p×12，解得p＝2.故抛物线E的方程为x2＝4y.(2)方法一：由(1)知y＝x2，y′＝x.设P(x0，y0)，则x0≠0，且l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x.由得所以Q(，－1)．设M(0，y1)，令·＝0对满足y0＝x(x0≠0)的x0，y0恒成立．由于＝(x0，y0－y1)，＝(，－1－y1)，由·＝0，得－y0－

51、y0y1＋y1＋y＝0.即(y＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0.(*)由于(*)式对满足y0＝x(x0≠0)的y0恒成立，所以解得y1＝1.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)．方法二：由(1)知y＝x2，y′＝x.设P(x0，y0)，则x0≠0，y0＝x，且l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x.由得所以Q(，－1)．取x0＝2，此时P(2,1)，Q(0，－1)，以PQ为直径的圆为(x－1)2＋y2＝2，交y轴于M1(0,1)或M2(0，－1)；取x0＝1，此时P(1，)，Q(－，－1)，以PQ为直径的圆为(x＋

52、)2＋(y＋)2＝，交y轴于M3(0,1)或M4(0，－)．故若满足条件的点M存在，只能是M(0,1)．以下证明点M(0,1)就是所要求的点．因为＝(x0，y0－1