常系数线性差分方程组特解的一种求法.pdf

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1、第20卷第3期江苏科技大学学报（自然科学版）Vol.20No.32006年06月JournaiofJiangsuUniversityofScienceandTechnoiog（yNaturaiScienceEdition）Jun.2006文章编号：l673-4807（2006）03-0030-06常系数线性差分方程组特解的一种求法l2!"#，!$%（l.镇江高等专科学校数理系，江苏镇江2l2003；2.江苏省司法警官高等职业学校，江苏镇江2l2003）摘要：将常系数非齐次线性差分方程求特解的待定系数法，推广到方程组的情形，给出了求方程组特解的一个比较可行的计算方法。关键词：常系数非齐次线性差

2、分方程组；特解；待定系数法中图分类号：0l75.7文献标识码：AAMethodforParticularSolutiontoLinearDifferenceEguationswithConstantCoefficientsl2OIANXiaowu，OIANChaIgbao（l.Dept.ofMathematicsandPhysics，ZhenjiangCoiiege，ZhenjiangJiangsu2l2003，China；2.JiangsuHigherPoiiceVocatioaiCoiige，ZhenjiangJiangsu2l2003，China）Abstract：Amethodofu

3、ndeterminedcoefficientsfortheparticuiarsoiutiontothenon-homogeneousiineardifferenceeguationisintroduced.Themethodprovesverysimpieandappiicabiefortheparticuiarsoiutiontosucheguations.Keywords：non-homogeneousiineardifferenceeguation；particuiareguation；undeterminedcoefficientmethod1问题的提出在实际应用和理论分析中，常会

4、遇到如下的常系数线性差分方程组：ìx（lI+l）=allx（lI）+al2x（2I）+⋯+alSx（SI）+f（lI）ïïx（2I+l）=a2lx（lI）+a22x（2I）+⋯+a2Sx（SI）+f（2I）í（l）ïï⋯îx（SI+l）=aSlx（lI）+aS2x（2I）+⋯+aSSx（SI）+f（SI）其中：aij为给定常数；f（iI）为给定的N上的函数。式（l）也可简写为X（I+l）=AX（I）+F（I）（2）T这里X（I）=（x（lI），x（2I），⋯，x（SI）），A=（aij）SXSTF（I）=（f（lI），f（2I），⋯，f（SI））收稿日期：2005-l0-l3作者简介：钱小吾

5、（l963-），男，江苏镇江人，镇江高等专科学校讲师。第3期钱小吾等：常系数线性差分方程组特解的一种求法3l而常系数线性齐次方程组X（I+l）=AX（I）（3）即为式（2）所对应的齐次方程组。常系数非齐次线性差分方程组的求解方法，已有作者讨论过，但都没有给出一个比较简便的计算方法。关于常系数线性差分方程组（l）的求解方法，例如在［l］和［2］中已证明：式（3）的解空间为一S维线性空间且如果!（I）为式（3）的一个基解矩阵，那么式（3）的一切解可表示为Z（I）=!（I）·CT这里C=（cl，c2，⋯，cS）为任意常数列向量，而式（2）的一切解可以表示为＊Z（I）=!（I）·C+x（I）＊这里x

6、（I）为方程组（l）的任一特解。!（I）可用代数方法求得，而且求得!（I）后，可用常数变易的方法求出方程组（l）的一个特解I-l＊-l-lX（I）=!（I）z!（I）A（I）（fI）（4）I=O式（4）形式虽然简单，但并不实用，因为不但要计算式（3）的一个基解矩阵，而且还要计算逆矩阵-l-l!（I）和A（I），因此，给出一个求方程组（l）的特解的有效方法，便成为求解方程组（l）的关键。另一方面，对于高价常系数线性差分方程（yI+S）+al（yI+S-l）+⋯+aS（yI）=f（I）（5）［2-3］解的结构与方程组（l）是相同的，且其解可用显式表示。而且当（fI）为某些常见函数时，可以用待［2

7、，4-5］定系数法非常初等地求得它的一个特解。对于线性方程组是否也可用待定系数法求得它的特解？解决这个问题的关键是：根据F（I）所属的类型，预先确定特解应该具有的形式，本文即来讨论这个问题。!"引"理现在设E是移位算子：EX（I）=X（I+l），P（E）是E的算子多项式，这里P（t）为t的m次多项式。引理#设"一l，O，则VI{I}IP（E）"（fI）="P（"E）{（fI）}（6）{I}I+lI证：因E"（