_常系数线性差分方程的求解.ppt

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1、§7.4常系数线性差分方程的求解描述线性、时不变离散系统的常系数线性差分方程的一般形式可表示为：返回求解常系数线性差分方程的方法一般有以下几种：迭代法、时域经典法：齐次解+特解、零输入响应+零状态响应（利用卷积求系统的零状态响应）、z变换法（反变换y(n)）、状态变量（方程）法。本节主要讲述前3种方法，后2种方法将在后续章节中讲解。式中ak、br是常数二、差分方程的解法（前3种方法）三、传输算子的概念一、差分方程的初值问题（边界条件）一、差分方程的初值问题（边界条件）相应于连续时间系统中的起始条件和初始条件，在离散时间系统中存在着起始样值与初始样值。起

2、始样值即在激励信号加入之前系统已具有的一组样值，以符号y-(n)表示。而初始样值是在激励信号加入之后系统所具有的一组样值，以符号y+(n)表示。分别利用起始样值y-(n)和初始样值y+(n)可以确定系统的零输入响应和完全响应。对于因果系统，如果激励信号在n=0时刻接入，则在n<0的区间，系统在同一样点上的起始样值与初始样值相等，即：y-(n)=y+(n)；但是在n0的区间，同一样点上的起始样值与初始样值一般不相等。因此，如果要求系统的完全响应，而给定的初值又是n0的起始样值y-(n)，那么，就要用迭代法由y-(n)求出初始样值y+(n)，然后求系统的完全响

3、应。对于N阶因果系统，常给定y(-1)、y(-2)、…...y(-N)为边界条件。若激励信号在n=0时接入系统，所谓零状态，指的是系统的起始样值y-(n)=0，即：y-(-1)、y-(-2)…...y-(-N)为0，而不是指y(-1)、y(-2)…...y(-N)为0。如果已知y(-1)、y(-2)、…...y(-N)，欲求y(0)、y(1)、…...y(N)，则根据因果系统在n<0，y-(n)=y+(n)；利用迭代法求得。返回推论：一般情况下，若n=n0时，激励信号接入系统，零状态是指y-(n0-1)、y-(n0-2)…...y-(n0-N)等于0。讨论

4、有关初值问题，引入起始样值y-(n)和初始样值y+(n)的定义。这对于一些基本概念的理解是有益的。例如，零输入响应是由起始样值y-(n)决定，而对于n=0时刻接入的激励信号，系统的完全响应由n0的初始样值y+(n)决定。今后我们规定，所有初值如无下标，则一律按初始样值处理。如果系统起始样值y-(n)0，则系统差分方程的完全解将不满足线性时不变的特性。二、差分方程的解法（前3种方法）返回（一）迭代法（二）时域经典法：齐次解+特解（三）零输入响应+零状态响应（利用卷积求系统的零状态响应）（一）迭代法是解差分方程的基础方法，包括手算逐次代入求解或利用计算机求解。

5、这种方法概念清楚，也比较简便；但只能得到其数值解，不易得到输出序列y(n)的解析式（或封闭解），若要求通解，需用数学归纳法得出，并证明。例7-4-1返回例7-4-2由递推关系,可得输出值：已知y(n)=3y(n-1)+u(n)，且y(-1)=0,求解方程。例7-4-1返回注意：这里y(-1)=0是按初始样值y+(-1)=0处理的。已知差分方程：y(n)-3y(n-1)=u(n)，且y(0)=1,求解方程。例7-4-2这里为了说明起始样值和初始样值，我们把y(0)看作y-(0)=1、y+(0)=1分别讨论。1、若把初值y(0)=1,看作激励加入前系统的起始样

6、值y-(0)，则y-(0)=1应满足方程：y(n)-3y(n-1)=0当n<0时，用迭代法容易求得：…...假设系统是因果系统，由于激励u(n)在n=0接入，那么,此解就是n<0时系统的零输入响应。由于系统的因果性，而有这样，由y+(-1)及y(n)-3y(n-1)=u(n)可求得y+(0)、y+(1)….y+(0)=u(0)+3y+(-1)=1+1=2y+(1)=u(1)+3y+(0)=1+3*2=7y+(2)=u(2)+3y+(1)=1+3(1+3*2)=22y+(3)=u(3)+3y+(2)=1+3(1+3+2*32)=67…...y+(n)=u(n

7、)+3y+(n-1)=1+3+32+……+3n-1+2*3n所以，该差分方程的完全解为：y(n)=3nu(-n-1)+u(n)当n0时，系统差分方程为：y(n)-3y(n-1)=u(n)2、若把初值y(0)=1,看作激励加入后系统的初始样值y+(0)，则y+(0)=1应满足方程：y(n)-3y(n-1)=u(n)当n<0时，由迭代法得：y+(n)=0当n0时，则有：y+(0)=1y+(1)=u(1)+3y+(0)=1+3*1=4y+(2)=u(2)+3y+(1)=1+3+32=13…...y+(n)=u(n)+3y+(n-1)=1+3+32+……+3n则方

8、程的解为：y(n)=u(n)由于n<0时，y(n)=0，所以该解是