常系数线性差分方程的求解

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§6.4常系数线性差分方程的求解主要内容重点：用时域经典法求常系数线性差分方程求解常系数线性差分方程的方法零输入响应与零状态响应 线性时不变离散系统的差分方程是常系数线性差分方程，基本形式：或写成在差分方程中，各序列的序号自n以递减方式给出，称为后向(或右移序)差分方程。 4、变换域法（Z变换法）逐次代入求解，概念清楚，比较简便，适用于计算机，缺点是不易得出通式解答。1、迭代法2、时域经典法3、全响应＝零输入响应＋零状态响应零输入响应求解与齐次通解方法相同零状态响应求解利用卷积和法求解，十分重要。求解过程比较麻烦一、求解常系数线性差分方程的方法全响应＝齐次解＋特解自由响应强迫响应 本章着重介绍时域中求常系数线性差分方法，下一章详细研究Z变换方法。下面我们学习时域经典法解常系数线性差分方程。 时域经典解法1、齐次解一般差分方程对应的齐次方程的形式为一般情况下，对于任意阶的差分方程，它们的齐次解的形式为的项组合而成。消去常数C，并逐项除以得到：上式称为齐次微分方程的特征方程，其根称为差分方程的特征根。 非重根时的齐次解K次重根时的齐次解共轭根时的齐次解有一个K重复根时的齐次解 初始条件为y(0)=2和y(1)=3，求方程的齐次解。例.系统的差分方程特征根为于是由初始条件解得：故齐次解解：特征方程为 2、特解特解得求法：将激励x(n)代入差分方程右端得到自由项，特解的形式与自由项及特征根的形式有关。（1）自由项为nk的多项式1不是特征根：1是K重特征根： （2）自由项为不是特征根，则特解是特征单根，则特解是k重特征根，则特解 （3）自由项为正弦或余弦表达式（4）自由项为正弦不是特征根是特征根 例6-9：求下示差分方程的完全解其中激励函数，且已知解：特征方程：齐次通解：将代入方程右端，得12)1()1()(22-=--=--nnnnxnx设特解为形式，代入方程得 比较两边系数得解得完全解为代入边界条件，求得 经典法不足之处(1).若激励信号发生变化，则须全部重新求解。(2).若差分方程右边激励项较复杂，则难以处理。(3).若初始条件发生变化，则须全部重新求解。(4).这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。 二、零输入响应和零状态响应系统的完全响应（差分方程的完全解）可表示为自由响应分量与强迫响应分量（齐次解与特解）之和。根据边界条件及激励的不同，完全响应也可分为零输入响应和零状态响应之和。 当起始状态y(-1)=y(-2)==y(-N)=0时，由系统的激励x[n]所产生的响应。它是自由响应的另外部分加上强迫响应。当激励x(n)=0时，由系统的起始状态y(-1),y(-2),y(-N)所产生的响应。它是齐次解的形式，它是自由响应的一部分。 1、零输入响应输入为零，响应由齐次差分方程求得，是仅由初始储能引起的响应。注意：确定零输入响应的系数时，必须用仅由初始状态引起的初始条件；初始条件为M个任意时刻的响应值，故零输入响应的表达式不再加写后缀n>0。 例描述离散时间系统的差分方程为解：特征方程为在差分方程中，令n=-1,得可见y(2),y(1),y(0)和y(-1)与激励无关,仅由初始储能引起。 在差分方程中，令n=0，得可见，y(3)与激励有关,是初始储能和激励共同引起的,不能用来确定零输入响应的待定系数。将y(1)=1,y(2)=2,y(3)=-23代入上式,可得第三个零输入条件： 于是得到 2、零状态响应离散时间系统求解零状态响应，可以直接求解非齐次差分方程得到。求解方法与经典法计算连续时间系统零状态响应相似。即首先求齐次解和特解，然后代入仅由激励引起的初始条件{若激励在n=0时接系统，根据系统的因果性，零状态条件为y(-1)=y(-2)=...=0}确定待定系数。但当激励信号较复杂，且差分方程阶数较高时，上述求解非齐次差分方程的过程相当复杂，因此，与连续时间系统的时域分析一样，离散时间系统计算零状态响应也常用卷积分析法。 差分方程的边界条件不一定由这一组数字给出。对于因果系统，常给定为边界条件。若激励信号在n=0时接入系统，所谓零状态是指都等于零，而不是指等于零。如果已知欲求可用迭代求出。 例:已知描述系统的一阶差分方程为（1）边界条件，求（2）边界条件，求解:（1）起始时系统处于零状态，所以，齐次解为,设特解为D,由y[-1]=0可求出所以， （2）先求零状态响应，此即为（1）的结果再求零输入响应，令由y[-1]=1可求出所以，完全响应 3、离散时间系统的转移算子：E算子：又称超前算子，它表示将序列向前（向左）移一位的运算。b、 思考题1.求解常系数线性差分方程的方法有哪些？2.时域经典法解的形式是什么？3.什么是零输入响应、什么是零状态响应？