常系数非齐次线性差分方程_组_求特解的新方法

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1、2010年9月韶关学院学报·自然科学Sep.2010第31卷第9期JournalofShaoguanUniversity·NaturalScienceVol.31No.9常系数非齐次线性差分方程（组）求特解的新方法谢泽嘉，黄纯纯（华南师范大学数学科学学院，广东广州510631）摘要：定义一种作用在形式幂级数上的算子，并结合升幂综合除法，将它应用于一类常系数非齐次线性差分方程（组）的求特解问题中.关键词：升幂综合除法；差分方程组；特解；算子法中图分类号：O151.23文献标识码：A文章编号：1007-5348（2010）09-0013-06

2、［1-7］用差分算子求常系数非齐次线性差分方程的特解已经是差分方程中的经典问题了.虽然差分算子法比一些教材中采用的待定系数法和常数变易法相对要简单很多，但是在用差分算子计算差分时却没有类似用微分算子计算微分那么简便.差分算子的常用公式与微分算子的有很大的区别，而且要复杂很多，难以记忆，特别是高阶差分算子的计算.本文将定义一种类似于微分算子的新算子，它作用于形式幂级数上，称为形式幂级数微分算子，并结合文［8］中的升幂综合除法，将它应用于常系数非齐次线性差分方程（组）的求特解问题中.1新算子的定义1.1形式幂级数微分算子的定义∞2ki设fk（

3、n）=a0+a1n+a2n+…+akn(n∈Z,k∈N)，f∞（n）=Σain(n∈Z).i=0ki-1（1）定义算子D，使Df∞（n）=Σiain，称D为形式幂级数微分算子，显然有：i=1ki-1k-1Dfk（n）=Σiain=a1+2a2n+…+kakn.i=1∞（2）定义算子D的逆算子D-1=1，使f∞（n）=Σaini+1，显然也有：Di=0i+1k1fk（n）=Σaini+1.Di=0i+1收稿日期：2010-06-12作者简介：谢泽嘉（1987-），男，广东揭阳人，华南师范大学数学科学学院学生，主要从事数学与应用数学方面的研究

4、.·14·韶关学院学报·自然科学2010年1.2幂级数微分算子与移位算子的关系k∞121k1i1iD由于Efk(n)=fk(n+1)=fk(n)+Dfk(n)+Dfk(n)+…+Dfk(n)=ΣDfk(n),Ef∞(n)=f∞(n+1)=ΣDf∞(n)=ef∞(n)2!k!i=0i!i=0i!∞01iD（其中D=I，I为恒等算子），因此有E=ΣD=e.i=0i!2新算子在差分方程求特解问题中的应用对于m阶常系数非齐次线性差分方程：P0y(n+m)+P1y(n+m-1)+…+Pm-1y(n+1)+Pmy(n)=f(n)，（1）利用位移算子E

5、，可以将差分方程（1）写成如下形式：P(E)y(n)=f(n)，（2）mm-1m-1其中P(E)是关于E的算子多项式，P(E)=P0E+P1E+…+PE+Pm.**1由文［9］的结论可知差分方程（2）的特解y(n)可记为y(n)=f(n)，且有如下定理成立：P(E)［9］1n1n定理1设P(a)≠0，则a=a.P(E)P(a)n［9］S1nn-s定理2设P(E)=(E-a)P1(E)，s∈N且s≠0，则a=nna.P(E)s［9］1nn1定理3设fk(n)为一个关于n的k次多项式，且常数a≠0，则有afk(n)=afk(n).P(E)P(

6、aE)对于差分方程：nP(E)y(n)=afk(n)，（3）它有一个特解为：1(定理3)*nny(n)=afk(n)=afk(n).（4）P(E)可按以下两个步骤来求出差分方程（3）的特解（4）：∞D1i11（Ⅰ）利用D与E之间的关系：E=e=ΣD，将fk(n)改写成fk(n)的形式，其中q(D)是D关于i=0i!P(aE)q(D)的算子多项式，改写的过程要注意两点：D①由于fk(n)是关于n的k次多项式，若（Ⅰ）不是关于E的方程P(aE)=0的根，即P(a)≠0，则E=e只需kk1i1展开至D那一项，即只需将E=ΣD代入P(aE)中，将

7、其改写为q(D).这一点是由于下面将展开为i=0i!q(D)kk+1k+1k+2关于D的形式幂级数时，只需展开至D项（Dfk(n)=0），而且在展开过程中与q(D)中的D,D,…项的系数Dk无关.因此，只需将e展开至D那一项.第9期谢泽嘉，等：常系数非齐次线性差分方程（组）求特解的新方法·15·k+tDk+11i若（Ⅰ）是关于E的方程P(aE)的t重根，则E=e要展开至D那一项，即将E=ΣD代入P(aE)中，i=0i!将其改写为q(D).∞∞D22D1immD1i2m②由E=e易得E=e=Σ(2D),…,E=e=Σ(mD)，故算子多项式P

8、(aE)中的E,…,E分别用i=0i!i=0i!∞∞1i1iΣ(2D),…,Σ(mD)替换.i=0i!i=0i!1（Ⅱ）利用文［8］的升幂综合除法，将展开为关于D的形式幂级数.q(D)12kk