阶常系数线性差分方程(I)

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1、§10.2简单的一阶和二阶常系数线性差分方程的解法一、齐次方程的通解二、非齐次方程的特解与通解三、二阶常系数齐次线性差分方程的解法一、齐次方程的通解一阶常系数线性差分方程一般形式为这是等比数列所满足的关系式,由等比数列通项公式可以得到方程变形后改写为从而得到方程的通解有二、非齐次方程的特解与通解于是,要使方程恒等,则应设则方程为代入方程,代入方程后,比较同幂次系数,可以解代数方程确定待定系数.要使方程恒等,则应设代入方程,比较同幂次系数,例1解代入原方程,有比较系数得所以所给方程通解为例2解代入原方程,有比较系数得所以得从而所给方程的通解为为代入方程有于是,从而得到

2、代入方程,这时方程从而得到代入方程,于是方程的特解为于是方程的特解为综上讨论,于是方程的通解可表示为例3解代入方程,有从而解得所给方程的通解为于是所给方程满足条件的特解为求解非齐次线性方程的通解，除了利用线性方程解的结构定理，通过分别求出对应齐次方程通解和非齐次方程一个特解的方法实现外，还可以直接用迭代法计算，这时将方程改写成迭代方程形式则有一般地,由数学归纳法可证其中为方程的特解,例4解有所以，所给方程的通解为三、二阶常系数齐次线性差分方程的解法二阶常系数齐次线性差分方程的一般形式为特征方程的解称为特征根或特征值.方程称为方程的特征方程,1.特征方程有两个相异实根

3、方程有两个相异实根于是方程有两个特解根据二次代数方程解的三种情况，可以仿照二阶常系数齐次线性微分方程，分别给出方程的通解.且由从而得到方程的通解例1解特征方程为解得两个相异实根于是,所给方程的通解为2.特征方程有二重根于是方程有一个特解方程有二重根可验证方程有另一特解且由从而得到方程的通解例2解特征方程为解得特征根为于是,所给方程的通解为3.特征方程有两个共轭复根通过直接验证可知,其中方程有两个共轭复根方程有两个特解所给方程的通解可表示为例3解特征方程为解得特征根因此所给方程的通解为