正整数n的m—分拆及其应用

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1、维普资讯http://www.cqvip.com2000年6月应用数学与计算数学学报第14卷第1期June、2000C0MM．0NAPPLMATHANDC0MPUT、『0l14No．1弓6正整数n的m王一立分欣拆及其应用Ot、＼(军械工程学院管理工程系石家庄，050011)何文杰于新凯申玉发米洪海0／~7,(河北工业大学应用数学系．天津，300130)摘要本文引入了两个新概念，正整数n的m一分拆和正整数n的真m一分拆．通过研究我们发现。的分拆恰好是的m一分拆的一个特倒．而n的真m一分拆在二分图的(整)和

2、图研究中有实际应用Is]关键词：』茎n4正整数的二!正整数n的真m一分拆虑唯1．引言二分国，应用，于教人们很早就开始研究正整数的分拆[1】_[4】_所谓正整数n的分拆，就是把正整数n表示成若干个正整数之和．把正整数恰好表示成个正整数之和的分拆称为的一个部分拆．在这方面有众所周知的定理1，定理2和定理3[1】_[4】_定理1正整数的部有序分拆的个数是(：：)以下分拆均指无序分拆．这样正整数的每一个部分拆可唯一确定地表示为如下规范形式：n=l+n2+⋯+n其中112⋯n^，此分拆可简记为(n，n2，⋯，n)

3、．每个被加数称为此分拆的一个分部．的部分拆的个数记为()；n的所有分拆的个数记为p(n)，即p()=∑(n)，p(n)称为n的分拆数^=1显然，我们知道P(n)=—t()=(n)=1，p()=(表示不大于a的最大的整数)．定理2(1)P(n)=pk—l()+pk(n—)：(2)+)=P1(n)十p2()+⋯+p(n)，即n+的部分拆个数等于n的至多有个分部的分拆个数．利用定理2原则上可以对n从小到大逐步得到p(n)的值．人们最感兴趣的是分拆数p(n)历史上Euler最早使用生成函数来研究正整数分拆的性质

4、．本文1999年l2月28日收到．维普资讯http://www.cqvip.com应用数学与计算数学学报l4卷定理3(Euler公式)对于3、p)有递推公式p(n)=p(n7)+．3k。+、=∑(—丁})和式中规定当ZTt．<0时p)=0本文拓广正整数的分拆的定义引入了正整数n的m一分拆并讨论了它的有趣的-l生质以及在整和图中的应用．2．正整数n的m一分拆现在我们引进一个新定义．设"ZTt，n为任意正整数且mn．正整数n的一个分¨拆被称作正整数n的一个m一分拆，如果它满足下列两个条件：+(1)n=l+n

5、2+--+；(2)扎1l，礼。≥一l+m(i=2，3，·一．)咖一以下如无特别声明均简记为n的m一分拆．n的一个恰好有个分部的m一分拆称为n的一个^部m一分拆．记n的m一分拆的个数为p(n、m)：n的部m一分拆的个数为pk(n，m)．例如，(2，5)是7的一个3一分拆．10的所有2一分拆为(1O)，(1．9)，(28)、(3，7)，(4、6)(1，3、6)、于是Pl(10，2)=1，P?(10，2)=4、P3(10．2)=攀l，p(1O．2)=6．／、引理l对任意给定的正整数、m≤n)、mm)=pk(n

6、一(】m)、2证明设(，n2，⋯n)为n的一个部m一分拆，由的"ZTt一分拆的定义可，L、知，(n1、n2一m，3—2m，，n一(一1)mJ必然是n—f)m的一个≈一部分拆．反之，若(n，n。，⋯，)为一()m的一个必然是的一个^部m一分拆．于是，我们推出的^部m一分拆与n一(：)m的一部分拆之间存在一一对应关系．所以，p(m)=徘一(：)m)．口I理2对任意给定的正整数mn)，的m一分拆至多有o个分部，其中‰：[兰2m1_证明显然，(1，m+l、2m+l，⋯，一1)m+1)是≈+(：)m的一个部m分拆

7、，对于固定的m、只有当n^+(：)m时，n的m一分拆才可能有个分部．维普资讯http://www.cqvip.com1期王立欣等：正整数n的m分拆及其应用33由七+(：m，即m。(m一2)k-2n。，我们得到l<

8、+Pa(15)+p4(6)=1+p2(21)+P3【15)+P3(5)=1+[]+19+2=32注意，当m=O时，的m一分拆的定义恰好就是n的分拆的定义．此时，由引理l知，(n、0)=()、由引理2证明可知，=n，从而定理4演变为p(n)=E肌(n)，这与我们已知的事实相符．所以n的分拆是n的m一分拆在m=0=1时的一个特例．定理5任意正整数n，m(n)，n的部有序m一分拆的个数为(“)证明与引理l的证明同理可知，n的部有序m一分拆与n一(