一类正整数n的广义k-有序分拆问题研究.pdf

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1、第25卷第1期广东石油化工学院学报V01．25No．12015年2月JournalofGuangdongUniversityofPetrochemicalTechnologyFebruary2015一类正整数的广义k一有序分拆问题研究李应，吴康(1．华南师范大学附属中学，广东广州510631；2．华南师范大学数学科学学院，广东广州510631)摘要：文章主要研究以正整数／7,的广义k一有序分拆为求和下标，表达式为各分部C作初等对称多项式变换后的求和计数公式。研究过程主要依据从特殊到一般的思想，运用组合分析和数学归纳法，最终得到这类问题一般情况下的计数公式。关键词：有序分

2、拆；分部；数学归纳法；初等对称多项式中图分类号：0157．1文献标识码：A文章编号：2095—2562(20l5)01—0069—03正整数的分拆问题是组合数学、图论和数论研究的重要问题之一，其研究起源可以追溯到中世纪时期一些特殊正整数的分拆问题。分拆理论可研究的范围广泛，传统分拆课题研究成果丰富。本文把正整数n的k一有序分拆推广为广义k一有序分拆，即把各分部从正整数推广为非负整数，然后利用数学归纳法研究以此为求和下标，以各分部C的初等对称多项式变换为求和表达式，得到一般情况下的计数公式。1基本定义及引理1．1基本定义定义1将一个正整数n分解成k个非负整数之和：=c1+

3、C2+⋯+C，(1≤k≤n，Cf≥0，1≤i≤k)(1)并且考虑c，c，⋯，c的顺序时，称为正整数n的广义k一有序分拆，每一个c称为一个分部’。定义2(初等对称多项式)以下的个n元多项式：0-1=1+2+⋯+，0"2=12+13+⋯+n一1n，⋯，n一1=XlX2‘。‘n一1+12⋯n一2+⋯+23⋯n，n=X1X2⋯戈n式中：表示，：，⋯，中每次取k个所作一切可能乘积的和，这n个多项式，：，⋯，称为n元初等对称多项式，口称为。，，⋯，的第k个初等对称多项式n。约定盯0=1。定义3对于给定的整数k≥1，k≥r≥0，s≥1，=n1，／7,2，⋯，，则(，k，r)=∑0-，

4、(c11c2l⋯Cc12c22⋯c⋯，ClkC2⋯c)(2)1112。十c1，Ilc，1+C22+⋯c，‘n，12⋯式中：Co~(1≤i≤s，1≤≤)为非负整数，(c11c21⋯CS1，c12c笠⋯c⋯，c1c2⋯c)表示c11c2l⋯cc12c22⋯c⋯，ClkC：⋯c的第r个初等对称多项式。定义4(n)n(n-1)⋯(n一+1)=，如果≥1)。=1[2]。1．2基本引理引理1若为初等对称多项式，1≤r

5、东石油化工学院学报2015年rl，9C2，⋯，=1一1(2，X3，⋯，)+(2，3，⋯，)。j(3)引理2二项式系数有以下基本性质：(1)肩性：[后二1]+[]=[凡]；(2)腰平行线和式：毒[]=[n_=]。引理3对于给定的整数n≥k≥1，则，Ji})-C．．c=[][5](4)1+，+⋯+=n一l引理4(+，)：。k=0r+l证明：把上式左右两边展开化简，可知命题成立。引理5若整数S>r≥0，则(一)[]=](5)k=0S‘+2证明(n一)[后]：k0[(n+，一)一(后+一)]=S，=0!一、1{[(n+r—s)=妻(+r)]一(Ij}+r)}k=Ok=0由引理4

6、可知，上式可化为j—r±!一±1)+2(凡+r+1)+21(n+r+1)+2rn+r+1、—广一一—一j—一一+2j2特殊情况下日(Ⅳ，k，r)的计数公式2．1r=0，k的计数公式定理1对于给定的整数k≥1，s≥1，=(n，n，⋯，)，则It(N,，．i}，0)：血[_](6)证明由于日(，k，0)=∑1，故由文献[6]可知，命题显然成立。2l22⋯2kl2⋯c

7、定理2对于给定的整数k≥1，s≥1，=(n。，：，⋯，)，则／-／(N,k)=i血=1[竺](7)证明日(，k，Jj})=∑(c11c21⋯c1)(C12c22⋯c。2)⋯(Clkc2⋯c)=c，11+．c12

8、+．⋯+．c1n1e21+c22+⋯+c2kn2l2⋯∑(c11c12⋯cl)(c21c22⋯c2)⋯(c1c2⋯c)=c，11+．c12+．。’+．c1n1c21。22⋯c22l⋯‰[c11cl2⋯c1^][∑c21c丝⋯c2]．．．[∑c∥．．c]．。。。1112⋯lk121¨22⋯c22Csl+Cs2+⋯由引理3可知，上式可化为-[nl2兰][凡22+后一k-1]⋯[s2+k一-1]：直[i2+

9、j}k]一12．2s=1，2的计数公式定理3对于给定的整数≥k≥1，k≥r>10，则H(N，r)-[][二二](8)第1期李应等：一类正整