正整数有序分拆的几个计数公式及n-colour有序分拆的一些新的组合性质

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1、万方数据第24卷第1期2010年1月甘肃联合大学学报(自然科学版)JournalofGansuLianheUniversity(NaturalSeiences)V01．24No．1Jan．2010文章编号：1672·691X(2010)Ol一0025-04正整数有序分拆的几个计数公式及九一colour有序分拆的一些新的组合性质郭育红(河西学院数学系。甘肃张掖734000)摘要：本文首先给出了正整数分别恰含一个奇分部量和一个偶分部量的有序分拆数的计数公式．其次还利用正整数的“偶一奇”元序分拆给出了正整数的7l—colour有序分拆的几个新的组合性质

2、．关键词：有序分拆f蹿一CO]OUr有序分拆；“偶一奇”无序分拆；组合性质中图分类号：0157文献标识码：AO引言在经典的分拆理论中‘1一扪，MacMahonPA第一次定义了正整数的有序分拆．即在正整数的分拆中考虑了分部量的次序．例如，4的无序分拆有：4，3+1，2+2，2+1+1，1+1+1+1共5个；而4的有序分拆有：4，3+1，1+3，2+2，2+1+1，1+2+1，1+1+2，1+1+1+1共8个．设正整数扎的有序分拆数为C(咒)，恰含m个分部量的有序分拆数为C(n，m)，熟知的结论有：c(以)=2a'-I；c(，t，优)=丽毒竞‰．Ag

3、arwalAK和AndrewsGE在文献[3～4]中拓广了正整数无序分拆的概念，给出了正整数的，l-colour无序分拆．定义1[妇正整数的扎一colour无序分拆是指若正整数无序分拆的一个分部量是，z，则可对该分部量着，1种色，并分别记n种色为：行t，71z，⋯‰，且分部量的次序为：1l<2。<2z<3t<32<3s<4l<42<⋯例如，4的mcolour无序分拆有：4l，42，43，44，3l+11，32+1l，33+1l，2l+2l，2l+22，22+22，21+11+1l，22+11+11，11+1l+1l+1l共13个．2000年，AK

4、Agarwal‘‘3又拓广了正整数的咒一eolour无序分拆，给出了正整数的咒一colour有序分拆．定义2[5]有序的n-colour分拆叫正整数的n-colour有序分拆．即在扎一colour无序分拆中考虑分部量的次序．例如，4的n-colour有序分拆有：4l，42，43，4．，3l+ll，32+1l，33+1l，11+3l，1l+32，ll+33，2l+21，2l+22，22+22，2l+22，2l+1l+1l，22+1l+1l，1l+2l+11，1l+22+11，1l+1l+22，1I+1l+21，1-+1-+1。+1。共21个．200

5、3年，AgarwalAKc6]给出了正整数的无序分拆和有序分拆相关的一个恒等式：正整数n分拆成分部量为奇数的有序分拆数等于最大分部量为rt的“奇一偶”无序分拆数．并给出了正整数的n-colour有序分拆的一些组合性质．2007年，文献[7]又给出了另外一些与正整数的有序分拆及无序分拆相关的一些结果．本文第二节基于文献[6～7]中的想法，从计算的角度给出正整数分别恰含一个奇分部量和一个偶分部量的有序分拆数的计数公式．在第三节，我们还利用引入的正整数的“偶一奇”无序分拆给出了正整数的咒一colour有序分拆的一些新的组合性质．首先，我们给出以下几个定

6、义：定义3[8]正整数订的“奇一偶”无序分拆是指在n的无序分拆中分部量分别以奇数和偶数交替出现，且最小分部量是奇数的无序分拆．收稿日期：2009—09—20．基金项目：甘肃省高等学校研究生导师科研项目(200809‘04)．作者简介：郭育红(1970一)，女，甘肃陇南人，河西学院副教授，主要从事组合论方面的研究．万方数据26甘肃联合大学学报(自然科学版)第24卷例如，7的“奇一偶”分拆有：7，1+6，3+4．定义4一个2行非负整数矩阵fm砚⋯町1，【bIb2⋯b，J。其中al>a2>⋯>口，≥0，bl>b2>⋯>6r≥o，且n=，．+∑口。十∑b

7、i叫做正整数咒的Frobenius一分拆．正整数的任意一个无序分拆都能表示成Frobenius一分拆．事实上，在无序分拆的Ferrers图中，假设主对角线上有r个点．我们将这r个点删掉，然后将主对角线右上方的点仍按各行计数，并将各行的点数仍以Ferrers图中行排列的顺序排成矩阵的第一行；同样将主对角线下方的点仍按各列计数，将各列的点数仍以Fer—rers图中列排列的顺序排成矩阵的第二行．如果在Ferrers图中第r行(列)没有点就用0表示．于是就得到与该无序分拆对应的Frobenius一分拆．例如，无序分拆7+7+5+4+4+1对应的Frobe

8、nius一分拆为¨Ⅺ定义5[73正整数，l的一个“奇”无序分拆是指其分部量为互不相同的奇数的无序分拆．定义6正整数扎的“偶一奇”无序分拆