关于正整数n的完备分拆的一些探讨

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1、万方数据第27卷第2期2009年03月佳木斯大学学报(自然科学版)JournalofJiamusiUniversity(NaturalScienceEdition)v01．27No．2Mar．2009文章编号：1006—1402{2009)02—0293一c12关于正整数／／,的完备分拆的一些探讨付香(电子科技大学应用数学学院．四川成都610054)摘要：在分部数和分部量有限制的情况下给出了正整数It的完备分拆数的两个递推公式，同时也讨论了完备分拆生成函数的一些结果．关键词：完备分拆；分部量；分部数；分拆数；生成函数中图分类号：0157文献标识码：A0引言正整数n的分拆是指

2、将n表示成若干个正整数的无序和，所分成的正整数称为该分拆的分部量，而分成的正整数的个数称为该分拆的分部数．我们通常用It=A1+A2+⋯+AI，Al≤A2≤⋯≤AI表示n的分拆(1≤i≤n，k。≥0)．定义1⋯如果正整数It的一个分拆：n=A，+A2+⋯+．：【I，Al≤A2≤⋯≤AI，具有性质VrnI∈J7v，且1≤m≤，l时m均能表示成芝：Ai，则称此分拆为正整数It的一个完备分拆．显然n=l+I+⋯+l是n的平凡完备分拆，且分部数最大．当It为奇数时，n=1+2+2+⋯+2是n的平凡完备分拆．引理1【21设正整数n的分拆n=Al+A2+⋯+AI，AI≤A2≤⋯≤AI是

3、完备分拆的，则有i—lAf≤1+∑～，2≤J≤k，Al=1．』=1l主要结果早在1986年，王萼芳教授就给出了有关完备分拆的递推关系：定理1【31设per(凡)表示正整数。It的完备分拆数，则per(n)=∑per(口一1)1《：淌1=．翌旧(口一1)+per(掣一1)}l‘口<~，n+1+per(～／n+1+1)其中，per(O)=1；若√n+1不是整数，则per(厂；i1一1)=0．1991年柳泊濂教授又给出了关于完备分拆的计数显式：定理2【41设正整数几+1的因子分解式为：n+12Pl。1p2a2⋯p^“，Pl，P2，⋯，PI是素数，tTll+口2+⋯+口I=s，贝4

4、∥c凡，=m妻=lj妻=Oc一∥(r≯nnl10垂i1r+I『-卜1)、，，=、口f，在分部数和分部量有限制的条件下，本文对完备分拆数的递推公式和生成函数进行研究，得出了以下的一些主要结果：定理3令c1．。(凡)为It的完备分拆数，其中z为分部个数，k为最大分部量，对于Z>1，有C¨㈤：f蚤q¨h“h≥2¨1o0其它其中Cl’l(1)=1，Cl，I(n)=0，k>1，，I>1．证明对于n的一个完备分拆It=A，+A2+⋯+AI，A1≤A2≤⋯≤A‘，设其最大分部量为k．如果去掉一个最大分部量k，则得到一个tl,一k的含有Z一1个分部数，且最大分部量小于或等于k的完备分拆．其

5、分拆数记作G^《。(n—k)．反过来，若增加k作为n—k的含有Z—1个分部数，且最大分部量小于或者等于k的一个分部量，则得到n的一个完备分拆．由引理l得k≤1+(It—k)，即n≥2蠡一l时成立．①收稿日期：2008一12—08作者简介：4,-t香(1983一)，女，山西长治人，电子科技大学应用数学学院硕士研究生．万方数据294佳．木斯大学学报(自然科学版)2009年定理4令邑(n)为正整数n的具有最大分部量为后的完备分拆数。则有胁，=∥一p引一Dn甏一其中蠡>1，EI(厅)=1．证明因&(n)=∑G．。(n)，对z求和可以得到c1．。(n)：f蚤cl—J‘n一后’n一>2

6、k-lo0其它故毋(n)：f薹；墨(，l一七)n2k—lL0其它上述和式∑Ei(n一詹)=臣(n一后)+∑墨((n一1)一(后一1))；Ek(n一后)+E一。(n一1)又因为n≥2k一1，故有n—l≥2(矗一1)一1．则上述结论得以证明．定理5令五(g)=∑邑(n)q“，其中(g)．=(1一q“)(1一g^一)⋯(1一q)，则^(q)=焉，五(g)=矗，晌，=矗一藿≠黼证明对孟运用数学归纳法：对任意的n，都有E。(n)=1。显然，^(口)=焉成立·对任意JI>1，由定理4的结论。可以-^(口)=∑甄(n)q-=∑臣(n)ql-iO--2●．1=∑[E一。(厅一1)+Ek(n

7、一矗)]q-■-21k-I一-=∑臣．，(n)g”1+∑墨(n)口I“=g∑E．。(n)gI+矿∑也(n)qI=q哦一I(g)一区．。(2k一3)q2b3]+口Z(g)因此。讹)=寺-I(小型半则有胁)=F赤习一样一一一旦2．望2。(1一92)(1一g)一1一口2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．!l!!!．一一(1一口2)(1一g)证毕．◆考文献：[1】柯召，魏万迪．组合论(t-册)[M】．北京：科学出版杜．1鳃I．29l一匆II．[2】瞢昭年．关于正整数的完备分拆的界[J】．河西学院学报．加嘶．兹(2)：2