2019_2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.7三角函数的应用学案新人教A版必修第一册.docx

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1、5.7　三角函数的应用1．会用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题．2．能将某些实际问题抽象为三角函数模型．1．三角函数模型的作用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用．2．用函数模型解决实际问题的一般步骤收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验．　判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在解决实际问题时，利用收集的数据作散点图，可精确估计函数模型．(　　)(2)若函数y＝asinx＋1在x∈[0,2π]上有两个不同零点，则实数a的取值范围是a∈[－1,1]．

2、(　　)(3)已知某一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]，则该地区在这一时段的温差为20℃.(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×题型一三角函数在物理中的应用【典例1】　已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？(3)经过多长时间小球往复振动一次？[思路导引]　画出函数图象，再求解．[解]

3、　列表如下，t－2t＋0π2πsin010－10s040－40描点、连线，图象如图所示．(1)将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin＝2，所以小球开始振动时的位移是2cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4cm和－4cm.(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是πs.　处理物理学问题的策略(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．[针对训练]1．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单

4、位：s)的关系可用E＝220sin来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．[解]　(1)当t＝0时，E＝220sin＝110V.(2)电压值重复出现一次的时间间隔T＝＝s.(3)电压的最大值为220V.第一次获得最大值的时间为100πt＋＝，即t＝s.题型三三角函数在实际生活中的应用【典例2】　某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：t(小时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0据上述数据描成的曲

5、线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数模型y＝Asinωt＋B的图象．(1)试根据数据表和曲线，求出y＝Asinωt＋B的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)[思路导引]　(1)根据所给水深数据，求出解析式；(2)由三角不等式求解．[解]　(1)从拟合的曲线可知，函数y＝Asinωt＋B的一个周期为12小时，因此ω＝＝.又ymin＝7，ymax＝13，∴A＝(y

6、max－ymin)＝3，B＝(ymax＋ymin)＝10.∴函数的解析式为y＝3sint＋10(0≤t≤24)．(2)由题意，得水深y≥4.5＋7，即y＝3sint＋10≥11.5，t∈[0,24]，∴sint≥，t∈，k＝0,1，∴t∈[1,5]或t∈[13,17]，所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港．若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．　解三角函数应用问题的基本步骤[针对训练]2．通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象.2018年2月下旬某地区连续几天最高温度都

7、出现在14时，最高温度为14℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2℃.(1)求出该地区该时段的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，

8、φ

9、<π，x∈[0,24))的表达式；(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？[解]　(1)由题意知解得易知＝14－2，所以T＝24，所以ω＝，易知8sin＋6＝－2，即sin＝－1，故×2＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，又

10、φ

11、<π，得φ＝－，所以y＝8sin＋6(x∈[0,24))．(2)当x＝9时，y＝8sin＋6＝8sin＋6<