2019_2020学年新教材高中数学第5章三角函数5.7三角函数的应用讲义新人教A版必修第一册

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1、5.7　三角函数的应用学习目标核心素养1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点)2.实际问题抽象为三角函数模型．(难点)1.通过建立三角模型解决实际问题，培养数学建模素养.2.借助实际问题求解，提升数学运算素养.1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义2．解三角函数应用题的基本步骤：(1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型；(3)讨论变量关系，求解数学模型；(4)检验，作出结论．1．函数y＝sin的周期、振幅、初相分别是(　　)A．3π，，　B．6π，，C．3π，3，－D．6π，3，B　[y＝s

2、in的周期T＝＝6π，振幅为，初相为.]2．函数y＝3sin的频率为________，相位为________，初相为________．　x－　－　[频率为＝＝，相位为x－，初相为－.]3．如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________s往返一次．0．8　[观察图象可知此简谐运动的周期T＝0.8，所以这个简谐运动需要0.8s往返一次．]4．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________________．y＝－6sinx　[设y与x的函数关系式为y＝Asin(ωx＋

3、φ)(A＞0，ω＞0)，则A＝6，T＝＝12，ω＝.当x＝9时，ymax＝6.故×9＋φ＝＋2kπ，k∈Z.取k＝1得φ＝π，即y＝－6sinx.]三角函数模型在物理学中的应用【例1】　已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？(3)经过多长时间小球往复振动一次？[思路点拨]　确定函数y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A，ω，φ的物理意义是解题关键．[解]　

4、列表如下：t－2t＋0π2πsin010－10s040－40描点、连线，图象如图所示．(1)将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin＝2，所以小球开始振动时的位移是2cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4cm和－4cm.(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是πs.在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数.交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关

5、系可用E＝220sin来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．[解]　(1)当t＝0时，E＝110(V)，即开始时的电压为110V.(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02s.(3)电压的最大值为220V，当100πt＋＝，即t＝s时第一次取得最大值．三角函数模型的实际应用[探究问题]在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？提示：(1)根据原始数据给出散点图．(2)通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数

6、关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．【例2】　已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：t03691215182124y1.51.00.51.01.510.50.991.5经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b的图象．(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？[思路点拨]　(1)根据y的最大值和最小

7、值求A，b，定周期求ω.(2)解不等式y＞1，确定有多少时间可供冲浪者活动．[解]　(1)由表中数据可知，T＝12，∴ω＝.又t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为，函数解析式为y＝cost＋1(0≤t≤24)．(2)∵y＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y＝cost＋1＞1，cost＞0,2kπ－＜t＜2kπ＋，即12k－3＜t＜12k＋3，(k∈Z)．又0≤t≤24，所以0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤2