2019_2020学年高中数学第五章三角函数5.7三角函数的应用讲义新人教A版

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1、5.7　三角函数的应用最新课程标准：会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.知识点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中各参数的物理意义知识点二　三角函数模型应用的步骤三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决．步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式．知识点三　三角函数模型

2、的拟合应用我们可以利用搜集到的数据，做出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．　解答三角函数应用题应注意四点(1)三角函数应用题的语言形式多为“文字语言、图形语言、符号语言”并用，阅读理解中要读懂题目所要反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，列出等量或不等量的关系．(2)在建立变量关系这一关键步骤上，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言并用的思维方式来打开思想解决问题．(3)实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知

3、识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题．(4)实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要用到计算机或计算器．[教材解难]　教材P248思考不对．因为这条船停止后还需0.4h，若在P点停止，再经0.4h后船驶出安全水深．[基础自测]1．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的(　　)A．[0,5]B．[5,10]C．[10,15]D．[15,20]解析：由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的

4、增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π]，故选C.答案：C2．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动，已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：s1＝5sin，s2＝5cos.则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是(　　)A．s1>s2B．s1

5、位置将传播至(　　)A．甲B．乙C．丙D．丁解析：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期，故选C.答案：C4．简谐振动y＝sin的频率和相位分别是________．解析：简谐振动y＝sin的周期是T＝＝，相位是4x＋，频率f＝＝.答案：，4x＋题型一　三角函数在物理中的应用例1　已知弹簧上挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)与时间t(s)的函数关系式为：h＝3sin.(1)求小球开始振动的位置；(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间；(3)经过多长时间小球往返振动一次？(4)每秒内小球能往返振动

6、多少次？【解析】　(1)令t＝0，得h＝3sin＝，所以开始振动的位置为平衡位置上方距离平衡位置cm处．(2)由题意知，当h＝3时，t的最小值为，即小球第一次上升到最高点的时间为s.当h＝－3时，t的最小值为，即小球第一次下降到最低点的时间为s.(3)T＝＝π，即经过约πs小球往返振动一次．(4)f＝＝，即每秒内小球往返振动次.→→→方法归纳处理物理学问题的策略(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解

7、题．跟踪训练1　已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用“五点法”做出这个函数的简图，并回答下列问题：(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？(3)经过多长时间小球往复振动一次？解析：列表如下，t02t＋π2πsin10－10s240－40描点、连线，图象如图所示．(1)将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin＝2，所以小球开始振动时的位移是2cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4

8、cm和－4cm.(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是πs.解决此类问题的关键在于明确各个参数的物理意义，易出现的问