2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5.7三角函数的应用学案含解析新人教A版必修第一册202103091199.doc

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1、高考5．7　三角函数的应用内　容　标　准学　科　素　养1.会用三角函数解决一些简单的实际问题．数学建模数学运算2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.授课提示：对应学生用书第116页[教材提炼]知识点　科学试验、生活中的三角函数　现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么可以考虑什么函数来描述？　　　知识梳理　简谐运动在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T＝，它是做简谐运

2、动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式f＝＝给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相．[自主检测]1．函数y＝sin的周期、振幅、初相分别是(　　)A．3π，，B．6π，，-11-/11高考C．3π，3，－D．6π，3，答案：B2．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)A．T＝6，φ＝B．T＝6，φ＝C．T＝6π，φ＝D．T＝6π，φ＝答案：A3．弹簧振子的振幅为2cm，在6s内振子通过的路程是32cm，由此可知该振子振动的(　　)A．频率为1.5

3、HzB．周期为1.5sC．周期为6sD．频率为6Hz答案：B4．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离scm和时间ts的函数关系式为s＝6sin(2πt＋)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为________．答案：1s授课提示：对应学生用书第117页-11-/11高考探究一　三角函数在物理中的应用[例1][教材P242拓展探究](1)已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．①小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？②小球上升到最高点和下降到最低

4、点时的位移分别是多少？③经过多长时间小球往复振动一次？(2)已知电流I与时间t的关系式为I＝Asin(ωt＋φ).①如图是I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；②如果t在任何一段秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？[解析](1)列表如下：t－2t＋0π2π-11-/11高考sin010－10s040－40描点、连线，图象如图所示．①将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin＝2，所以小球开始振动时的位移是2cm.②小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4cm和－4cm.③因

5、为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是πs.(2)①由题图可知A＝300.设t1＝－，t2＝，则周期T＝2(t2－t1)＝2＝，∴ω＝＝150π.又当t＝时，I＝0，即sin＝0，而

6、φ

7、＜，∴φ＝.故所求函数的解析式为I＝300sin.②依题意，周期T≤，即≤(ω＞0)，∴ω≥300π≈942.48.-11-/11高考又ω∈N*，故ω的最小正整数值为943.三角函数解决物理问题的三个关键量(1)物体运动的初始位置，即初相．(2)完成一次运动需要的时间，即周期．(3)离开平衡位置的最大位移，即振幅．探究二　三角函数在生活中的应用[例2]估计某一天的白昼时间的小时数D(t)的

8、表达式是D(t)＝sin(t－79)＋12，其中t(t∈Z)表示某天的序号，t＝0表示1月1日，以此类推，常数k与某地所处的纬度有关．(1)在波士顿，k＝6，试画出当0≤t≤365时函数的图象；(2)在波士顿哪一天白昼时间最长？哪一天最短？(3)估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过10.5小时．[解析](1)先用五点法作出f(t)＝3sin(t－79)的简图，由(t－79)＝0及(t－79)＝2π，得t＝79及t＝444.当t＝0时，f(0)＝3sin(－79)≈3sin(－1.36)≈－2.9.∵f(x)的周期为365，∴f(365)≈－2.9.将f(t)在[0,365]上的图象向上

9、平移12个单位，就得D(t)的图象(如图所示)．-11-/11高考(2)白昼时间最长的一天，即D(t)取最大值的一天，此时t≈170，对应的是6月20日(闰年除外)，类似地，t≈353时D(t)取最小值，即12月20日(闰年除外)白昼最短．(3)D(t)>10.5，即3sin(t－79)＋12>10.5，sin(t－79)>－，t∈[0,365]．∴292>t≥49,292－49＝243.故约有243天的白昼时间超过10.5小时．已知实际问题的