2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5.2.1三角函数的概念学案含解析新人教A版必修第一册202103091185.doc

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1、高考5．2　三角函数的概念5．2.1　三角函数的概念内　容　标　准学　科　素　养1.借助于单位圆理解任意角的三角函数的定义．直观想象数学抽象数学运算2.掌握三角函数在各象限的符号．3.掌握诱导公式(一)及其应用.授课提示：对应学生用书第81页[教材提炼]知识点一　三角函数的定义如图所示，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为(1,0)，点P的坐标为(x，y)．射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP.当α＝时，点P的坐标是什么？当α＝或时，点P的坐标又是什么？

2、它们是唯一确定的吗？　　　知识梳理　(1)利用单位圆定义任意角的三角函数．设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)．-11-/11高考①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数(sinefunction)，记作sinα，即y＝sin_α；②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数(cosinefunction)，记作cosα，即x＝cosα；③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tanα，即＝tanα(x≠0)．称为正切函数(tangentfunction)．我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数(tr

3、igonometricfunction)，通常将它们记为：正弦函数y＝sin_x，x∈R；余弦函数y＝cosx，x∈R；正切函数y＝tanx，x≠＋kπ(k∈Z)．(2)利用角α终边上一点的坐标定义三角函数．如图所示，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝.其中r＝.知识点二　三角函数值在各象限的符号若一个角的终边任意一点为P(x，y)，则该角的三角函数值在各象限的符号如何？　　　知识梳理-11-/11高考记忆口诀：一全正、二正弦、三正切

4、、四余弦．知识点三　诱导公式与π终边有什么关系？sin与sinπ.cos与cosπ，tan与tanπ之间有什么关系？　　　知识梳理　终边相同的角的同一三角函数的值相等．由此得到一组公式(公式一)：sin(α＋k·2π)＝sin_α，cos(α＋k·2π)＝cos_α，tan(α＋k·2π)＝tan_α，其中k∈Z.[自主检测]1．已知角α的终边与单位圆交于点，则tanα等于(　　)A．－B．－C．－D．－答案：D2．若α是第二象限角，则点P(sinα，cosα)在(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D-11

5、-/11高考3．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα等于(　　)A.B.C．－D．－答案：D4．sinπ的值为________．答案：授课提示：对应学生用书第82页探究一　利用三角函数定义求三角函数值[例1][教材P178例1拓展探究](1)已知角α的终边经过点P(4a，－3a)(a≠0)，则2sinα＋cosα＝________.[解析]由题意知x＝4a，y＝－3a，故r＝＝5

6、a

7、.①当a＞0时，r＝5a，sinα＝＝＝－，cosα＝＝＝，则2sinα＋cosα＝－.②当a＜0时，r＝－5a，2sinα＋cosα＝2×＋

8、＝.综上，2sinα＋cosα＝-11-/11高考[答案]±(2)求π的正弦、余弦和正切值．[解析]在直角坐标系中作∠AOB＝π，如图．∠AOB的终边OB与单位圆的交点B.坐标为，∴sinπ＝－，cosπ＝－，tanπ＝.(3)已知点M是圆x2＋y2＝1上一点，以射线OM为终边的角α的正弦值为－，求cosα和tanα的值．[解析]设点M的坐标为(x1，y1)．由题意可知，sinα＝－，即y1＝－.∵点M在圆x2＋y2＝1上，∴x＋y＝1，即x＋2＝1，解得x1＝或x1＝－.∴cosα＝，tanα＝－1，或cosα＝－，tanα＝1.

9、-11-/11高考(4)已知角α的终边在直线y＝2x上，求sinα，cosα，tanα的值．[解析]法一：(单位圆)设直线y＝2x与单位圆x2＋y2＝1的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得①当角α的终边在第一象限时，cosα＝x1＝，sinα＝y1＝，tanα＝＝2.②当角α的终边在第三象限时，cosα＝x2＝－，sinα＝y2＝－，tanα＝＝2.法二：(定义法)在直线y＝2x上任取一点P(t,2t)(t≠0)，则r＝＝

10、t

11、.①若t＞0时，则r＝t，从而sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝2.②若t＜0，则r

12、＝－t，从而sinα＝＝－，cosα＝＝－，tanα＝＝2.1.已知角α的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有以下两种：-11-/11高考解法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值