例谈分段函数问题中的几种特殊图象

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1、46数学通讯——2O1O年第9期(上半月)·专论茎萃·例谈分段函数问题中的几种特殊图象黄加卫(浙江省湖州新世纪外国语学校莲花庄校区，313000)分段函数是一类特殊表达形式的函数，指的f导一ncn<一是自变量在不同的取值范围内，其对应法则不相同的函数．它不仅在初等数学乃至高等数学中具小值是．{n+1(一号≤口≤÷)，有重要的理论价值，而且具有较广泛的应用价值．笔者经过研究发现：把握住分段函数的图象特征l导+nc口>对于解决此类问题而言具有至关重要的作用，下评注分段函数中的“U”字型图象指的是其文将就“分段函数”问题中的几种特殊图象展开图象的形状类似一个或若干个字母“U”的形状，例析．这种分

2、段函数的构成知识要素往往与抛物线等圆1．“U”字型图象锥曲线知识有关．常伴以绝对值或函数最值等知例1(2002年全国高考题)设a是实数，函数识为考查对象．(z)一X。+I—al+1，z∈R，求()的最小2．“V”字型图象值．例2(2006年浙江理科卷)对口，b∈R，记分析易知mX{)一函数)一mX{1l')+n+丢，

3、丢)，i图1图2一2l(z<丢)，若口<一1时最小值为厂(一1)一3一口(如，如图4所示，则厂()一厂(寺)一詈．厶厶图1)例3(2009年山东理科卷)已知定义在R上若一丢≤n≤专，最小值为(n)a2+1(如的奇函数厂(z)，满足f(x一4)一一厂(z)，且在区图2)l问[O，2]上是增函数，若方程厂(z)=m(m>0)在若口>1区问[一8，8]上有四个不同的根X。，zz，。，z，则，最小值为＼＼＼Xl+X2+z3+X4一．＼——、、，(专)=3+n(如图3)．一I、?一011n分析因为定义在R上的奇函数(z)满足f(xi：一4)一一厂)，则厂(z一4)一，(一z)，故函数图象关综上，函数

4、，(z)的最图3于直线z一2对称且厂(0)一0，由z一4)一一厂(z)可知厂(z一8)一厂(z)，所以函数是以8为周期的周期·专论荟萃·数学通讯——2O10年第9期(上半月)47例5(2OO9年重庆理科卷)已知以丁=4为周期1i的函数⋯⋯．／／～厂()：m~／丁二7，∈(一1，1]，一／8／一6i一4＼＼2l／／024＼＼6_／／'8l1一I一2l，∈(1，33，其中m>0．若方程3f(x)一恰有5个实数解，则的取值范围为()图5(A)(孚，8)．(B)(．函数．又因为厂(z)在区间[0，2]上是增函数，所以厂()在区间[_2，O]上也是增函数．如图5所示，那么(c)(詈，8)．(D)(詈

5、，．方程，(z)一m(m>O)在区间[_8，8]上有四个不同y的根l，X2，，，不妨设l<3c2<<，由对称性知l+=一12，勋+五一4，所以l+X2+确+一一8．故答案为一8．／：⋯一评注分段函数中的“V”字型图象指的是其一1O123456789图象的形状类似一个或若干个字母“V”的形状，这种分段函数的构成知识要素往往与直线等知识图8有关．常伴以绝对值或周期性等知识为考查对象．分析因为当∈(一1，1]时，将函数化为方3．“UV”字型图象例4(20O3年北京高考J程zz+兰一1(≥0)，实质上为一个半椭圆，其试题)有三个新兴城镇分别图象如图8所示，同时在坐标系中作出当z∈(1，位于A、B、

6、C三点处，且3]时厂(z)的图象，再根据周期性作出函数其它部一AC一13km，BC一10kin．分的图象，由图易知直线Y一与第二个椭圆(z今计划合建一个中心医院，为／＼A一同时方便三镇，准备建在BC日(一5，0)DC(5．0)x一4)z+芝，。一1(≥o)相交，而与第三个半椭圆的垂直平分线上的P点处(如图6建立坐标系)，若希望点图6(一8)+睾一1(≥o)无公共点时，方程恰有P到三个镇的最远距离为最小，点P位于何处?5个实数解．分析记P(O，)，P到三个镇的最远距离为g()，则将Y一詈代人(z一4)。+m=l(y≥o)得，、f,／gg+Y。，当,／gg+Y≥l12一YI，(gin。+1)。

7、一72m。z+135m。一0，令t一9m(【l12一I，当~／『二FO)，则(￡+1)一8红+15t一0，由△一(8￡)。一由F≥14×15t(t+1)>0，得t>15；由9m。>15且m>z=g()l12一I解得≥，记＼／o，得m>；：：、5．／／、、_．，．～c一，则D。12同样由Y一詈与(z一8)+箸一1(≥0)方程联立后，根据△<0可计算得m<，一’综上知∈(，)，故答案选(B)．函数z—g()的