几种特殊函数的图象及应用.docx

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1、几种特殊函数的图象及应用函数学习中，除了二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等常见函数外，还有一类分式函数、绝对值函数也常常出现.这类函数问题，虽说借助于导数等工具也能解决，但如果能够掌握这类函数的基本图象特征，便能起到事半功倍的效果.本文介绍四个最常见的函数模型及其图象特征,并在实际问题中借助于换元、分离变量等手段将函数表达式转化为这几个函数模型之一，根据函数图象，迅速找到解决问题的切入点和解题思路.先了解这四个基本函数:一皿1一一，，1一①函数y=—（图1）;②函数y=x十一（图2）；一一1③函数y=x——（图3）；④函数y=X（图4）.从函数的图象很容易看出函数的对称

2、性、单调性、值域等性质，下面看它们各自的应用.C，一，一E-一11一、形如y=a+（c*0）的函数可利用函数y=—（或y=——）的性质.当c>0时，函x-bxx...cc数y=a+的图象可看成由函数y=一的图象左右、上下平移得到，在区间（-8,b）、（b,+g）上x-bxcc分别递减；当c<0时，函数y=a+的图象可看成由函数y=一的图象左右、上下平移得到，x-bx在区间（一°0,b）、（b,+无）上分别递增.精品资料例1函数f(x)=lgkx-1x-1(k>0)在10,收)上单调递增，求实数k的取值范围.kx-1kx-1解析：令f(x)=lgt,t=,由复合函数单调性及题意

3、可得：t=需满足两个条件：①x—1x—1t在xW10,-He)上单调递增；②tA0在xW10,依)上恒成立.上kkx-1k-1考虑t二二k-x-1(x=1)k=1时，f(x)=0不合题意，舍去;k>1时，t在g,1)(1,-He比均递减，不合题意，舍去;0

4、x2+2x—3—a=0„12x2-1.一区间[-1,1]上有解.显然a=0,可得一=,令t=3—2<=[1,,5可得a3-2xt2-6717173=—(t+—)-,3•―W[V7—3,0)=(0,1],解得aW(3,-]31,依).2t2ta23已知集合A=[x,yj)x2+mx—y+2=0),B=4x,yjx-y+1=0,0WxE2)，如果丰巾,求实数m的取值范围.精品资料解析：AcB#4,即方程x2+mx—y+2=0与方程x—y+1=0(0MxM2)的图象有公共点，消去y得关于x的方程x2+（m—1）x+1=0在0,2］上有解，显然x=0不是方程的解，当x三(0,21可得

5、1-m=x-.x一，.b..一..、形如y=ax--+c(a,b>0)的函数x1一，y=x——的性质.类似地，如图6,函数y=ax—区间（*,0）、（0,+oc）上分别递增.其中，必和12由2*=9%a1.ax时解得.例4函数f(x)=ax2+(1—4a)x+4a(a21)在区间L2,2】上的最大值、最小值分别为M、m,记g(a)=M+m,求g(a)的最小值.,,,„,...13解析：由题得fx的对称轴x=2--=i-,2I,2aIL2-1.188a—1M=f(-2)=16a-2,m=f2--i=<2a)4a1一g(a)=16a-——(a之1),由g(a)图象易得g(a)在［

6、1,8)上递增，4a63一gmin(a)=g(1).4四、形如y=ax—b+Ca而）的函数可利用函数y=

7、x的性质.当a>0时，函数y=ax—b

8、+c在区间（一°0,b］上递减、在区间［b,〜）上递增；当a<0时，函数y=ax—b+c在区间（—°0,b］上递增、在区间［b,**）上递减.例5若函数f（x）=ax-b+2在口收）为增函数，分另ij确定实数a,b的取值范围.解析：函数y=x在（-叫0）上递减、0,2）上递增；函数y=—x在（-8,0）上递增、在b,f）精品资料上递减.函数f(x)的图象可由y=x的图象经过平移伸缩变换得到，不难得到a>0,b<0.,.2-,一例6若

9、关于x的不等式xm2-x-1至少有一个负数解，求实数t的取值范围.2解析：考察函数y=2-x与y=

10、x-11的图象，如图7,当t在区间、一，.2一.(ti12)内变化时，两函数的图象在y轴左侧有交点，x<2-x-1至少有y=

11、x—11经过点p(0,2),解得t2=2,所以tw9,2I.,4时12-个负数解.当t=t1时，两图象相切，由△=0,可求得t1=精品资料精品资料五、综合应用.求实数a的取12,,例7已知函数f(x)=x

12、x—a

13、-2,当xw(0,1］时，f(x)<-x-1恒成立,2值范围.12.